12.复变函数 16/59回 812复变函数 121复变函数的定义 定义:若在复数平面(或球面上存在一个点集E(复数的集 合),对于E的每一点(每一个z值),按照一定的规律,有一个或多个 复数值w与之相对应,则称w为z的函数一复变函数,z称为w的宗 量,定义域为E,记作 w=f(x),z∈E. 本课程主要研究解析函数 1.22区域的概念 1区域一满足一定条件的点集,用B表示 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.2. EC¼ê 16/59 §1.2 EC¼ê 1.2.1 EC¼ê½Â ~ ½Âµe3E겡(½¥¡)þ3:. 8. E (Eê8 Ü)§éu E z:(z z )§Uì½5Ƨk½õ Eê w éA§K¡ w z ¼ê—E. C. ¼. ê. § z ¡ w m. þ. §½. Â. . . E §P w = f(z), z ∈ E. §ÌïÄ). Û. ¼. ê. © 1.2.2 «Vg 1 «—÷. v. . ½. ^. . . :. 8. §^. B L. «.
12.复变函数 17/59回 2邻域—z0的邻域定义为一复数z0为圆心、任意小正实数为半 径所作的圆内所有点的集合 内点一如z0及其邻域均属于点集E,则z0称为该点集的内点 4外点一如z0及其邻域不属于点集E,则x0称为该点集的外点 5境界点一如在z0的每个邻域内,既有属于E的点,也有不属于 E的点,则称z0为该点集的境界点,它既不是妮的内点,也不 是E的外点.境界点的全体称为境界线 1.区域满足的条件 1点集全由内点组成 2具有连通性.即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来, 且折线上的点全是内点 既是开集又是连通的点集就称为区域 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.2. EC¼ê 17/59 2 —z0 ½ÂEê z0 %!?¿¢ê ε »¤ S¤k:8Ü 3 S:—X z0 9Ùþáu:8 E§K z0 ¡T:8S: 4 :—X z0 9ÙØáu:8 E§K z0 ¡T:8 : 5 ¸.:—X3 z0 zS§Qkáu E :§kØáu E :§K¡ z0 T:8¸.:§§QØ´XÀ S:§Ø ´ E :©¸.: N¡¸. .. . © 1. «÷v^ 1 :8 dS:|¤ 2 äkëÏ5©=:8¥?¿ü:ѱ^^òëå5§ òþ: ´S:© Q. ´. m. 8. q. ´. ë. Ï. . :. 8. Ò. ¡. . «. . ©
12.复变函数 18/59回 2.闭区域与开区域 1闭区域一由内点和境界线构成的点集,用B表示 2开区域一由内点构成的点集用B表示 123复变函数举例 f(x)=a0+a1z+a2x2+…+anz",n为正整数; (1.2-1) f(x)=a0+a1z+a2x2+、、.,m为正整数; b+b1z+b2x2+…+bmzm f(z) 1.2-3) f(z=e=eztly e(cos y +isin y), T= 2ri (1.2-4 f(z)=sin T=2丌 (1.2-5) 2i f(z)=cos z =(e+e ), T= 2T (1.2-6) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.2. EC¼ê 18/59 2. 4«m« 1 4«—dS:Ú¸.¤:8§^ BL« 2 m«—dS:¤:8,^ BL« 1.2.3 EC¼êÞ~ f(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + anz n , nê; (1.2-1) f(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + anz n b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · + bmz m , n, mê; (1.2-2) f(z) = √ z − a; (1.2-3) f(z) = e z = e z+iy = e x (cos y + i sin y), T = 2πi; (1.2-4) f(z) = sin z = 1 2i(e iz − e −iz ), T = 2π; (1.2-5) f(z) = cos z = 1 2 (e iz + e −iz ), T = 2π; (1.2-6)
12.复变函数 19/59回 f(z)=shz =(e-e), T=2ri (1.2-7) f(z)=shz =(e +e), T= 2i (1.2-8) f(z)=In z In(Izlerg2)= In Izl +iArgz (1.2-9) f(z)=z=els,s为复数 (1.2-10) 式(1.2-5)和(12-6定义的正余弦函数在服数域中其模完全可以大于1 ( I sin zl>1, I cos zl>1),式(12-9)定义的对数函数lnz有无限多个 值,在复数域中,对负实数也有意义 124复变函数与实变函数的关系 若复变函数的实部和虚部分别用u(x,y),v(x,y)表示,则 f()=u(x, y)+ iv(r, y). 即复变函数归结为一对二元实变函数.因此,有关实变函数的许多定 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.2. EC¼ê 19/59 f(z) = shz = 1 2 (e z − e −z ), T = 2πi; (1.2-7) f(z) = shz = 1 2 (e z + e −z ), T = 2πi; (1.2-8) f(z) = ln z = ln(|z|e iArgz ) = ln |z| + iArgz, ; (1.2-9) f(z) = z s = e sln s , sEê. (1.2-10) ª(1.2-5)Ú(1.2-6)½Â{u¼ê3Ñê¥Ù ±u¬ £|sin z| > 1, | cos z| > 1¤§ª(1.2-9)½Âéê¼ê ln z kÃõ §3EꥧéK¢êk¿Â© 1.2.4 EC¼ê¢C¼ê'X eEC¼ê¢ÜÚJÜ©O^ u(x, y), v(x, y) L«§K f(z) = u(x, y) + iv(x, y). (1.2-11) =EC¼ê8(é¢C¼ê©Ïd§k'¢C¼êNõ½
12.复变函数 20/59 义、公式、定理可移植到复变函数论中 如复变函数连续的定义:当z→z0时,如果f(z)→f(z0),则复变函 数∫(z)在点z0=xo+iyo处连续.这和归结为一对二元实变函数 (x,y)和v(x,y)在点(xo,yo)连续,即 u(x,y)→l(x0,y0), y→y0 v(x,y)→w(x0,yo) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.2. EC¼ê 20/59 Â!úª!½n£EC¼êØ¥© XEC¼êëY½Âµ z → z0 §XJ f(z) → f(z0)§KEC¼ ê f(z) 3: z0 = x0 + iy0 ?ëY©ùÚ8(é¢C¼ê u(x, y) Ú v(x, y) 3: (x0, y0) ëY§= ( x → x0 y → y0 −→ ( u(x, y) → u(x0, y0), v(x, y) → v(x0, y0).