1/38 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/38 ê Æ Ô n { : S² ¡: Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) e: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þØ ¤§eyÃç ¥T<§ØØ —ôí§5ô¼[Ô6
2/38 第四章留数定理 留数在复变函数理论本身及实际应用中都具有重要意义.本节主 要介绍留数概念、留数定理、留数计算及留数的应用 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/38 1oÙ 3ê½n 3ê3EC¼ênØ 9¢SA^¥Ñäk¿Â© !Ì 0 3êVg!3ê½n!3êO93êA^©
4.1.留数定理 3/38 841留数定理 由 Cauchy定理可知,知道在区域B上解析、 在B上连续的函数f(z),对区域B的任一围线 f(zdz=0. 如果B内有奇点,则 Cauchy定理不再有效 如果z0是f(z)在B内的一个孤立奇点,在除去奇 点z0的环域(邻域)上,f(z)可展开为 Laurant级 图4-1 数 f(z) k=-oo 见图示,在z0点的邻域内任取一包围x0的小围线l0(包含在 Laurant级数(41-1)的收敛环中),由 Cauchy定理 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 3/38 §4.1 3ê½n d Cauchy ½n§3« B þ)Û! 3 B þ I ëY¼ê f(z)§é« B ? `§ ` f(z)dz = 0. XJ B SkÛ:§K Cauchy ½nØ2k© XJ z0 ´ f(z) 3 B SáÛ:§3ØÛ : z0 £¤þ§f(z) Ðm Laurant ? ê f(z) = X ∞ k=−∞ ak(z − z0) k . (4.1-1) 㫧3 z0 :S? z0 `0£¹3 Laurant ?ê(4.1-1)Âñ¥¤§d Cauchy ½n
4.1.留数定理 4/38 小=小 f(z)dz. 代式(41-1)入上式,并利用积分公式(234)和(235),即 0,k≠-1 2ri 得 f(z)dz 2ria-1. (4.1-2) 式中,a-1为 Laurant级数负一次幂项的系数,称为函数f(z)在0点 的留数(残数),记作Resf(z0)或Resf(z),z].因此 f(z)dz 2riResf(zo) 4.1-3) 上面的结论可以推广到包含n个孤立奇点的情形.假设!包含着 f(z)的n个孤立奇点b1,b2,……,bn,作围线l1,2,…,ln分别包围点 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 4/38 ` f(z)dz = `0 f(z)dz. ª(4.1-1)\þª§¿|^È©úª(2.3.4)Ú(2.3.5)§= 1 2πi I ` (z − z0) kdz = ( 0, k , −1 1, k = −1 I ` f(z)dz = 2πia−1. (4.1-2) ª¥§a−1 . Laurant ?. ê. K. . g. . . . X. ê. §¡. . ¼. ê. f(z) 3. z0 :. . 3. ê. £í. ê. ¤§P. . Resf(z0) ½. Res[f(z), z0]©Ïd I ` f(z)dz = 2πiResf(z0). (4.1-3) þ. ¡. . (. Ø. . ±. í. 2. . . ¹. n . . á. Û. :. . . /. ©b ` ¹X f(z) n áÛ: b1, b2, · · · , bn§ `1, `2, · · · , `n ©O:
4.1.留数定理 5/38 b1,b2,…,bn,由 Cauchy定理,有 小/d= f(z)dz +q f(z)dz +求 f(z)dz. 将(41-2)代入上式,得 ∫(x)dz=2π i[Res(b1)+Resf(b2)+∴+Resf(bn (4.1-4) 4.1.1留数定理 1.留数定理 设函数()在围线(所围区域B上除有限个Q 孤立奇点b1,b2,…·,bn外解析,在闭区域B上除 )Ln 61. b bn外连续,则 图4-2 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 5/38 b1, b2, · · · , bn§d Cauchy ½n§k ` f(z)dz = `1 f(z)dz + `2 f(z)dz + · · · + `n f(z)dz. ò(4.1-2)\þª§ ` f(z)dz = 2πi[Resf(b1) + Resf(b2) + · · · + Resf(bn)]. (4.1-4) 4.1.1 3ê½n 1. 3ê½n ~ ¼ê f(z) 3 ` ¤« B þØk áÛ: b1, b2, · · · , bn )Û§34« B þØ b1, b2, · · · , bn ëY§K