1/67回 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs a cuit. edu. cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/67 ê Æ Ô n { : S² ¡: Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) e: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þØ ¤§eyÃç ¥T<§ØØ —ôí§5ô¼[Ô6
2/67圆 第五章 Fourier变换 在许多实际问题中,人们往往通过适当的变换把一个复杂的问题 化成简单的问题来研究.例如,通过对对数变换,把除法运算化为加 减运算,通过分式线性变换把复杂区域化为简单区域等.本张从 Fourier级数出发,引出在电学、力学、控制理论等许多工程和科学 领域中有广泛应用的积分变换— Fourier变换及其基本性质和一些简 单应用 Fourier级数的应用可在力学中振动和波动部分找到:任何振动 和波动都可表示为谐振动和谐波的叠加一 Fourier级数展开 简谐振动是振动或周期运动的一种,许多实际的周期运动并不是 谐振动.例如,各种乐器的振动大多不是谐振动.对小提琴的锯齿振 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/67 1ÊÙ Fourier C 3Nõ¢S¯K¥§< ÏL·CrE,¯K z¤{ü¯K5ïÄ©~X§ÏLééêC§rØ{$z\ ~$§ÏL©ª5CrE,«z{ü« © Ül Fourier ?êÑu§ÚÑ3>Æ!åÆ!nØ Nõó§ÚÆ +¥k2A^È©C—Fourier C9ÙÄ 5Ú { üA^© Fourier ?êA^3åÆ¥ÄÚÅÄÜ©éµ?ÛÄ ÚÅÄÑL«ÄÚÅU\— Fourier ?êÐm© {ĴĽ±Ï$Ä«§Nõ¢S±Ï$Ä¿Ø´ Ä©~X§«WìÄõØ´Ä©éJç¸
3/67回 动,就可以表示为 f() Ak cos(kot +(pr) 所谓音色,就取决于A0,A1,A2,…的比值,声音是否和谐也取决于 这些比例.小提琴的一系列谐振动的振幅之比具有非常简单而有规律 的比例,3,…,这就是小提琴音色优美的物理原因 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/67 ħұL« f(t) = X ∞ k=0 Ak cos(kωt + ϕk) ¤¢ÑÚ§Òûu A0, A1, A2, · · · '§(Ñ´ÄÚûu ù '~©JXÄÌ'äk~{ü k5Æ '~ 1 1 , 1 2 , 1 3 , · · · §ùÒ´JÑÚ`{ÔnÏ©
§5.1. FOURIER级数 4/67 51 Fourier级数 本节简要概述 Fourier级数的基本内容 511周期函数的 Fourier级数展开 设函数∫(x)以2C为周期,即 f(x)=f(x+2D). 5.1-1) 则函数f(x)可以正余弦函数族作为展开基(基本函数族)展开: 2丌x kzx 1. cos -.cOs coS 角函数系: Tr 2丌x (5.1-2) sIn-. sin sInOx rc数/12=+(+bm4)-613 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 4/67 §5.1 Fourier ?ê !{Vã Fourier ?êÄ SN© 5.1.1 ±Ï¼ê Fourier ?êÐm . ¼. ê. f(x) ±. 2` . ±. Ï. §=. f(x) = f(x + 2`). (5.1-1) K. ¼. ê. f(x) . ±. . {. u. ¼. ê. x. . . Ð. m. Ä. £Ä. . ¼. ê. x. ¤Ð. m. µ n. . ¼. ê. X. µ 1, cos πx ` , cos 2πx ` , · · · , cos kπx ` , · · · , sin πx ` ,sin 2πx ` , · · · ,sin kπx ` , · · · . (5.1-2) Fourier ?. ê. µf(x) = a0 + X ∞ k=1 ak cos kπx ` + bk sin kπx ` . (5.1-3)
§5.1. FOURIER级数 5/67 这就是周期函数的f(x)的 Fourier展开式,其系数称为 Fourier系 数 函数族(51-2)满足正交归一关系 k≠n kT IT cos=rcos"xdx=〈1 k=n≠0 k=n=0 (5.1-4) n k≠n sin -x sin -xdx cosx sin-xdx =0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 5/67 ù. Ò. ´. ±. Ï. ¼. ê. . f(x) . Fourier Ð. m. ª. §Ù. X. ê. ¡. . Fourier X. ê. © ~ ¼. ê. x. (5.1-2)÷. v. . . 8. . '. X. µ Z ` −` cos kπ ` x cos nπ ` xdx = 0 k , n 1 δk` = 1 ` k = n , 0 1 2` k = n = 0 Z ` −` sin kπ ` x sin nπ ` xdx = 0 k , n 1 ` k = n Z ` −` cos kπ ` x sin nπ ` xdx = 0. (5.1-4)