《数学分析(1,2,3)》教案 第二章极限与连续 §1数列的极限与无穷大量 ◆引言 为了掌握变量的变化规律,往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量 它开始是1,然后为234……如此,一直无尽地变下去,虽然无尽止,但它的变化有一个趋势, 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说,这个变量的极限为0。所以,我们有必要 对极限作深入研究。 数列极限的定义 1数列的定义 定义:若函数∫的定义域为全体正整数集合N,则称∫:N→R为数列。 注:记f(n)=an,则数列f(n)就可写作为:a,a2…,an…,简记为{an}。 2数列的例子 1 I j23…(2){1+}:21+,1+1,1+2,…(3){m2}:14.1625 2、什么是数列极限 引言 容易看出,数列 2}的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。 一般地说,对于数列{an},若当n无限增大时,an能无限地接近某一个常数a,则称此数列为收敛 数列,常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列 据此可以说,数列 是收敛数列,0是它的极限 数列{n),(1+(-))都是发散的数列 需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法, 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 1为例,可观察出该数列具以下特性: 随着n的无限增大,a=1-1无限地接近于1→随着n的无限增大,1-1与1的距离无限减少→ 随着n的无限增大,|1---1限减少→>|1---1会任意小,只要n充分大 n
《数学分析（1，2，3）》教案 2-1 第二章 极限与连续 §１ 数列的极限与无穷大量 ◆ 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量， 它开始是１，然后为 1 1 1 1 , , , , , 234 n 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势， 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。所以，我们有必要 对极限作深入研究。 一 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称 f N R : + → 为数列。 注：记 ( ) n f n a = ，则数列 f n( ) 就可写作为： 1 2 , , , , n a a a ，简记为 an。 ２ 数列的例子 （1） 1 1 1 1 :1, , , , n 234 ；（2） 1 1 1 1 1 : 2,1 ,1 ,1 , n 4 3 5 + + + + （3） 2 n :1,4,9,16,25, 2、什么是数列极限 １．引言 容易看出，数列 1 2 n 的通项 1 2 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列 an ，若当 n 无限增大时， n a 能无限地接近某一个常数 a ，则称此数列为收敛 数列，常数 a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。 据此可以说，数列 1 2 n 是收敛数列，０是它的极限。 数列 2 1 , 1 ( 1)n n + + − 都是发散的数列。 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法， 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 以 1 1 n − 为例，可观察出该数列具以下特性： 随着 n 的无限增大， 1 1 n a n = − 无限地接近于 1 → 随着 n 的无限增大， 1 1 n − 与１的距离无限减少 → 随着 n 的无限增大， 1 |1 1| n − − 无限减少 → 1 |1 1| n − − 会任意小，只要 n 充分大
《数学分析(1,2,3)》教案 如:要使|---1k0.1,只要n>10即可; 要使|1---1k0.01,只要n>100即可; 任给无论多么小的正数E,都会存在数列的一项a,从该项之后(n>N) VE>0,N,当n>N时,‖1--|-1kE。 如何找N?(或N存在吗?)解上面的数学式子即得:1取N=[。+1即可。这样vE>0,当 n>n <一<8。 综上所述,数列{1-1 的通项1--随n的无限增大,1--无限接近于1,即是对任意给定正数 总存在正整数N,当n>N时,有山1-1)-1k6·此即{1-}以1为极限的精确定义,记作 1--|=1或n→m,1--→1。 2.数列极限的定义 定义1设{an}为数列a为实数,若对任给的正数E,总存在正整数N,使得当刀>N时有an-aK6, 则称数列{an}收敛于aa称为数列{an}的极限,并记作iman=a或an→a(n→>) 若数列{an}没有极限,则称{an}不收敛,或称{an}为发散数列 问题]:如何表述{an}没有极限? 3。举例说明如何用E-N定义来验证数列极限 例:证明m上D 0 例:证明lim 例:证明m3n2-0 2.2
《数学分析（1，2，3）》教案 2-2 如：要使 1 |1 1| 0.1 n − − ，只要 n 10 即可； 要使 1 |1 1| 0.01 n − − ，只要 n 100 即可； 任给无论多么小的正数 ，都会存在数列的一项 N a ，从该项之后 ( ) n N ， 1 | 1 1| n − − 。即 0, N ，当 n N 时， 1 | 1 1| n − − 。 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得： 1 n ，取 1 N [ ] 1 = + 即可。这样 0, 当 n N 时， 1 1 1 | 1 1| n n N − − = 。 综上所述，数列 1 1 n − 的通项 1 1 n − 随 n 的无限增大， 1 1 n − 无限接近于１，即是对任意给定正数 ， 总存在正整数Ｎ，当 n N 时，有 1 | 1 1| n − − 。此即 1 1 n − 以１为极限的精确定义，记作 1 lim 1 1 n→ n − = 或 1 n ,1 1 n → − → 。 2.数列极限的定义 定义 1 设 an 为数列,a 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整数 N ,使得当 n N 时有 | | n a a − , 则称数列 an 收敛于 a, a 称为数列 an 的极限, 并记作 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → → . 若数列 an 没有极限，则称 an 不收敛，或称 an 为发散数列。 [问题]：如何表述 an 没有极限？ ３。举例说明如何用 −N 定义来验证数列极限 例： 证明 1 3 ( 1) lim 0 n n n + → − = . 例： 证明 1 lim 0 2 n n→ = . 例：证明 2 3 2 1 lim 0 n 9 7 n → n − = +
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明Iim 4 例:证明lim√a=1,其中a>0 4关于数列的极限的E-N定义的几点说明 (1)关于E:①E的任意性:;②E的暂时固定性:③E的多值性:④正由于E是任意小正数,我们 可以限定E小于一个确定的正数 (2)关于N:①相应性:②N多值性 (3)数列极限的几何理解:“当n>N时有|an-akE”所有下标大于N的项an都落在邻域O(a,E) 内;而在O(a,)之外,数列{an}中的项至多只有N个(有限个) (4)数列极限的等价定义(邻域定义) 定义1任给E>0,若在O(a,E)之外数列{an}中的项只有有限个,则称数列{an}收敛于极限a 由此可见:数列是否有极限,只与它从某一项之后的变化趋势有关,而与它前面的有限项无关。所 以,在讨论数列极限时,可以添加、去掉或改变它的有限项的数值,对收敛性和极限都不会发生影响 例:证明{n2}都是发散数列。 无穷小数列 在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下 定义2若 i lim a=0,则称{a}为无穷小数列 都是无穷小数列。 数列{an}收敛于a的充要条件: 定理1数列{an}收敛于a的充要条件是{an-a}为无穷小数列 三收敛数列的性质 性质1(保不等式性)设数列{an}与{b}均收敛,若存在正数N,使得当n>N时有an≤bn,则 lim a≤ lim b 性质2(保号性)若 lim a=a>0(或a<0),则对任何a’∈(0,a)(或a'∈(a,0)),存在正数 N,使得当n>N时有an>a'(或an<a)。 性质3(极限唯一性)若数列{qn}收敛,则它只有一个极限。 性质4(迫斂性)设收敛数列{an}、{bn}都以a为极限,数列{cn}满足:存在正数N,当n>N
《数学分析（1，2，3）》教案 2-3 例：证明 2 2 4 lim 4 n 3 n → n = − . 例：证明 lim 1 n n a → = ，其中 a 0 . ４ 关于数列的极限的 −N 定义的几点说明 （１） 关于 ：① 的任意性；② 的暂时固定性；③ 的多值性；④正由于 是任意小正数，我们 可以限定 小于一个确定的正数。 （２） 关于Ｎ：① 相应性；②Ｎ多值性。 （３） 数列极限的几何理解：“当 n N 时有 | | n a a − ” 所有下标大于Ｎ的项 n a 都落在邻域 O a( , ) 内；而在 O a( , ) 之外，数列 an 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。 （４） 数列极限的等价定义（邻域定义）： 定义 1 任给 0 ，若在 O a( , ) 之外数列 an 中的项只有有限个，则称数列 an 收敛于极限 a. 由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所 以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。 例：证明 3 n 都是发散数列。 二 无穷小数列 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若 lim 0 n n a → = ，则称 an 为无穷小数列。 如 2 1 1 1 , , 3 n n n 都是无穷小数列。 数列 an 收敛于 a 的充要条件： 定理１ 数列 an 收敛于 a 的充要条件是 a a n − 为无穷小数列。 三 收敛数列的性质 性质 1（保不等式性）设数列 an 与 bn 均收敛，若存在正数 N0 ，使得当 0 n N 时有 n n a b ，则 lim lim n n n n a b → → 。 性质 2（保号性） 若 lim 0 n n a a → = （或 a 0 ），则对任何 a a (0, ) （或 a a ( ,0) ），存在正数 Ｎ，使得当 n N 时有 n a a （或 n a a ）。 性质 3（极限唯一性） 若数列 an 收敛，则它只有一个极限。 性质 4（迫敛性） 设收敛数列 an、bn 都以 a 为极限，数列 cn 满足：存在正数 N0 ，当 0 n N
《数学分析(1,2,3)》教案 时有an≤Cn≤bn,则数列{cn}收敛,且imcn=a 注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具。 例!:求数列小的极限 性质5(有界性)若数列{a}收敛,则{an}为有界数列 注:数列收敛则必有界,反之未必。例如数列{(-1)"}有界,但它不收敛。 四数列极限的运算 性质6(极限的四则运算法则)若{a}、{bn}为收敛数列,则{an+b},{an-b},{nbn}也都收敛,且 有 lim(an±bn)=a±b= lim a±lmbn lim(a, b)=a. b=lim a,. lim b 若再做假设b,≠0及lmbn≠0,则数列{}也收敛,且有 b lim e n→ n→b 在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则。 例:求Im+mm+“+4+,其中m5k.a≠0b≠0 bn+b=n+…+bn+b 例:求lm√m(m+2-Vm) 五单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时,通常分两步来解决:先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题) 若有极限,再考虑如何计算些极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义若数列{an}的各项满足不等式an≤an1(a≥an),则称{an}为递增(递减)数列。递增和递减数列 统称为单调数列 例如:{}为递减数列;{}为递增数列 定理(单调有界定理)在实数系中,有界且单调数列必有极限。 例:设an=1+++…+,n=12…其中a≥2,证明数列{an}收敛。 例:证明下列数列收敛,并求其极限: √.√3+√3
《数学分析（1，2，3）》教案 2-4 时有 nnn a c b ，则数列 cn 收敛，且 lim n n c a → = . 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 例： 求数列 n n 的极限。 性质 5（有界性）若数列 an 收敛，则 an 为有界数列。 注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列 ( 1) n − 有界，但它不收敛。 四 数列极限的运算 性质６（极限的四则运算法则） 若 an、bn 为收敛数列，则 a b a b a b n n n n n n + − , , 也都收敛，且 有 lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → → = = ; lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → → = = . 若再做假设 0 n b 及 lim 0 n n b → ，则数列 n n a b 也收敛，且有 lim lim lim n n n n n n n a a a b b b → → → = = . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。 例： 求 1 1 1 0 1 1 1 0 lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b − − → − − + + + + + + + + ，其中 , 0, 0 m k a b m k . 例： 求 lim ( 2 ) n n n n → + − 。 五 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）； 若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义 若数列 an 的各项满足不等式 1 1 ( ) n n n a a a a + + ，则称 an 为递增（递减）数列。递增和递减数列 统称为单调数列． 例如： 1 n 为递减数列； 2 n 为递增数列。 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 例：设 1 1 1 1 , 1,2, 2 3 n a n n = + + + + = 其中 2 ，证明数列 an 收敛。 例：证明下列数列收敛，并求其极限： 3, 3 3, , 3 3 3 , n + + + 个根号
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明lim(1+-)存在 六无穷大量的定义 定义:设{xn}是一个数列。若VG>0,N∈N,当n>N时必有xn|>G,则称{xn}是无穷大量 几何解析: 例:证明 是无穷大量。 5n-4n-4 定义:设{xn}是一个数列。若VG>0.,N∈N,当n>N时必有xn>G,则称{x}是正无穷大量 定义:设{xn}是一个数列。若G>0,N∈N,当n>N时必有xn<-G,则称{xn}是负无穷大量。 七无穷大量的性质和运算 1、无穷大量和无穷小量的关系 定理:{x}为无穷大量,当且仅当,{x}为无穷小量,这里要求文 2、无穷大量的一些运算法则 定理:正无穷大量的和仍是正无穷大量,负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷 大量 定理:设{xn}为无穷大量,{yn}收敛于a≠0,则{xyn}是无穷大量。 §2函数的极限 函数在一点的极限 现在讨论当x→>x0(x≠x0)时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列。 先看下面几个例子: 例:(x)=~4 当x≠2时,f(x)=x+2,当x→>2时,f(x)→>4) 由上例可见,对有些函数,当x→x0(x≠x0)时,对应的函数值f(x)能趋于某个定数A:但对有些函 数却无此性质。所以有必要来研究当x→x0(x≠x0)时,f(x)的变化趋势。 定义1设函数f(x)在点x的附近有定义,A为定数,若对任给的vE>0,3δ>0,使得当04x-xkd 时有f(x)-AkE,则称称A为x→>xo时f(x)的极限,记作Iimf(x)=A或∫(x)→A(x→>x) 注:(1)|f(x)-AkE是结论,04x-x0kd是条件,即由0<x-x0kd推出 (2)E是表示函数f(x)与A的接近程度的 5
《数学分析（1，2，3）》教案 2-5 例：证明 1 lim(1 )n n→ n + 存在。 六 无穷大量的定义 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G ，则称 xn 是无穷大量。 几何解析： 例：证明 3 2 2 5 1 5 4 4 n n n n − + − − 是无穷大量。 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G ，则称 xn 是正无穷大量。 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G − ，则称 xn 是负无穷大量。 七 无穷大量的性质和运算 1、 无穷大量和无穷小量的关系 定理： xn 为无穷大量，当且仅当，xn 为无穷小量，这里要求 1 n x 。 2、 无穷大量的一些运算法则 定理：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷 大量。 定理：设 xn 为无穷大量， yn 收敛于 a 0 ，则 x yn n 是无穷大量。 §2 函数的极限 一 函数在一点的极限 现在讨论当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。 先看下面几个例子： 例： 2 4 ( ) 2 x f x x − = − 。当 x 2 时， f x x ( ) 2 = + ，当 x →2 时， f x( ) 4 → ）。 由上例可见，对有些函数，当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数Ａ；但对有些函 数却无此性质。所以有必要来研究当 0 0 x x x x → ( ) 时， f x( ) 的变化趋势。 定义 1 设函数 f x( ) 在点 0 x 的附近有定义，Ａ为定数，若对任给的 0, 0 ，使得当 0 0 | | − x x 时有 | ( ) | f x A − ，则称称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → . 注:（１） | ( ) | f x A − 是结论， 0 0 | | − x x 是条件，即由 0 0 | | − x x 推出。 （２） 是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的