1/48 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/48 ê Æ Ô n { : S² ¡: Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) e: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þØ ¤§eyÃç ¥T<§ØØ —ôí§5ô¼[Ô6
2/48 第六章 Laplace变换 上章指出,指出 Fourier积分和 Fourier变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区域上满足 Dirichlet条件,并且在(-∞,∞)区间上绝 对可积,这是很强的条件.在许多物理现象中,考虑的是以时间为自 变量的函数(如,研究电路中电流、电压和电量的时间变化规律)的 初值问题:即已知物理量在初始时刻t=0(电路接通瞬时)的值 ∫(0),研究它们在t>0(联络接通后)的变化情况f(),对于t<0 (电路接通之前)的情况,可以不必考虑。另外,许多常见函数(如 多项式、三角函数等)不满足 Fourier变换的条件 总之,对于物理学和工程技术上常遇到的定义在[0,∞)的函数 f(t)(0≤t<∞), Fourier变换不在有效,为此我们必需采用新的变 换 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/48 18Ù Laplace C þÙÑ§Ñ Fourier È©Ú Fourier C3^´¼ê f(x) 3?k«þ÷v Dirichlet ^§¿ 3 (−∞, ∞) «mþý éȧù´ér^©3NõÔny¥§Ä´±mg Cþ¼ê£X§ïÄ>´¥>6!>ØÚ>þmCz5Ƥ ЯKµ=®Ônþ3Щ t = 0£>´Ï]¤ f(0)§ïħ3 t > 0£éäϤCz¹ f(t)§éu t < 0 £>´Ïc¤¹§±Ø7Ä", §Nõ~¼ê£X õª!n¼ê ¤Ø÷v Fourier C^" o§éuÔnÆÚó§Eâþ~½Â3 [0, ∞) ¼ê f(t) (0 ≤ t < ∞)§Fourier CØ3k§d·7Iæ^#C ©
3/48回 历史上, Laplace变换与无线电工程师 Heaviside发明的求解线性 微分方程的符号法一后经 Jeffreys发展为运算微积一密切相关 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/48 {¤þ§Laplace CÃ>ó§ Heaviside u²¦)5 ©§ÎÒ{—² Jeffreys uÐ$È—'©
861.符号法* 4/48回 86符号法* 运算微积的原始形式是符号法 函数q()的n阶导数可以看成求导算符p=是在函数q(t)上作 用n次的结果,p"q(t)=nq(t).算符p的“倒数”1则解释为积分算 符,q()=0q(T)d.例如, ldτ=t,1 1dtdt==t2 依此类推 (6.1-1) 无限电工程师承 Heaviside把符号法应用于求解线性匪分方程 从而大大促进了符号法的应用.例如,电阻R和自感L串联电路匪 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 4/48 §6.1 ÎÒ{∗ $È©/ª´ÎÒ{© ¼ê ϕ(t) n ê±w¤¦Î p = d dt 3¼ê ϕ(t) þ ^ n g(J§p nϕ(t) = d n dt nϕ(t)©Î p “ê” 1 p K)ºÈ© Χ1 p ϕ(t) = R t 0 ϕ(τ)dτ©~X§ 1 p 1 = Z t 0 1dτ = t, 1 p 2 1 = Z t 0 Z τ1 0 1dτdτ1 = 1 2 t 2 , daí§ 1 p n 1 = 1 n! t n . (6.1-1) Ã>ó§« Heaviside rÎÒ{A^u¦)5©§§ l r? ÎÒ{A^©~X§>{ R Úga L Gé>´
861.符号法* 5/48回 分方程是L+Rj=E,即 +r (6.1-2) Heaviside把式(6.1-2)改写为 E Lp R 算符p出现在分母中是没有意义的.式(61-3)最多只能当作“是微分 方程61-2)的解这句话的缩写.但是 Heaviside竟把(61-3)的分式展 开为级数并逐项应用(61-1) E E E R p+R p1+ P t Lp E R1 R2 Lp L2p2 L3 E「R1R21R31R41 RILP L2P2fLp3-L4p4 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 5/48 ©§´ L d j dt + R j = E§= L d dt + R j = E. (6.1-2) Heaviside rª(6.1-2)U j = E L p + R 1. (6.1-3) Î p Ñy3©1¥´vk¿Â©ª(6.1-3)õU“ j ´© §(6.1-2))”ùé{ ©´ Heaviside ¾r(6.1-3)©ªÐ m?ê¿ÅA^(6.1-1)© j = E L p + R 1 = E L p · 1 1 + R l 1 p 1 = E L p 1 + R L 1 p −1 1 = E L p 1 − R L 1 p + R 2 L2 1 p 2 − R 3 L3 1 p 3 + · · · 1 = E R R L 1 p − R 2 L2 1 P2 + R 3 L3 1 p 3 − R 4 L4 1 p 4 + · · · 1