第四章第三节 协方差与相关系数
第四章第三节 协方差与相关系数
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y,定义为 COv,Y=EIIX-E(IIY-E( I (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X) (2)Cov(aX,bY= ab Cov(,Y)a,b是常数 (3)Cov(X+X2, Y)=Cov(X1, Y)+ Cov(X2,n)
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为 ⑶ Cov(X1+X2 ,Y)= Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义
由协方差的定义及期望的性质,可得 COV(X,=EIX-E(XII-E( FE(XY-E(XE(Y-E(E(X+E(XE(n FE(XY-E(XE(Y COV(X,Y-E(XDE(E(Y 可见,若X与Y独立,Cov(X,Y)=0
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即
Var(X+r= var()+ Var(n+ 2Cov(X,y pr(∑X1)=∑am(x)+2∑∑Cov(X,X) 若X1,X2…,yX两两独立,上式化为 lar(x1)=∑am(X,)
若X1 ,X2 , …,Xn两两独立,，上式化为 Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 ( ) ( ) 2 ( , ) 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = = = + = = = n i n i Var Xi Var Xi 1 1 ( ) ( )
协方差的大小在一定程度上反映了X和y 相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位 的影响.例如: Cov(kX, kr=k-Cov(X,n 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化, 这就引入了相关系数
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k 2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数