l/70回 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/70 ê Æ Ô n { : S² ¡: Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) e: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þØ ¤§eyÃç ¥T<§ØØ —ôí§5ô¼[Ô6
2/70 第八章分离变数( Fourier级数法 行波法一般用来求解无界区域上的定解问题(如初值问题),对 于有限区域上的定解问题一混合问题或边值问题,本章介绍另一种求 解方法—分离变量法.它的基本思想是将偏微分方程的问题转化为常 微分方程的问题,先从中求出一些满足边界条件的特解,然后利用叠 加原理,作出这些解的线性组合,令其满足余下的定解条件,从而得 到定解问题的解 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/70 1lÙ ©lCê(Fourier?ê){ 1Å{^5¦)Ã.«þ½)¯K£XЯK¤§é uk«þ½)¯K—·Ü¯K½>¯K§ Ù0 ,«¦ ){—©lCþ{©§Ä g´ò ©§¯K=z~ ©§¯K§kl¥¦Ñ ÷v>.^A)§,|^U \n§Ñù )5|ܧ-Ù÷v{e½)^§l ½)¯K)©
881.齐次方程的分离变数法 3/70圆 81齐次方程的分离变数法 811齐次方程、齐次边界条件的分离变数法 以两端固定弦的自由振动为例,具体说明分离变数法的基本思想 和步骤.定解问题为 utt - uxy (8.1-1) uIx=0 =0, ukx=I=0 (8.1-2) u=0=y(x),utl=0=ψ(x),(0<x<D (8.1-3) 两端固定的弦上的振动引起的波在端点将反射, 皮度度波度 从而形成驻波,根据驻波的特点,可将振动相位 变化和振幅的变化分别用m()和x(x)表示,即不 其解具有分离变数的形式 图8-1 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 3/70 §8.1 àg§©lCê{ 8.1.1 àg§!àg>.^©lCê{ ±üà½ugdÄ~§äN`²©lCê{Ä g ÚÚ½©½)¯K utt − a 2uxx = 0, (8.1-1) u|x=0 = 0, u|x=l = 0, (8.1-2) u|t=0 = ϕ(x), ut |t=0 = ψ(x), (0 < x < l). (8.1-3) üà½uþÄÚåÅ3à:ò§ l /¤7ŧâ7ÅA:§òÄ CzÚÌCz©O^ T(t) Ú X(x) L«©= Ù)äk©lCê/ª
881.齐次方程的分离变数法 4/70 u(x, t)=X(xT(t). (8.1-4) 代式(8.1-4)入式(81-1)和(81-2),得 XTN-a2XuT=0 X(0)T(t)=0, (8.1-6) X(D)T(t)=0. 为了得到非零解,T(t)≠0,所以得到与其次边界条件相应的结论 X(0)=X(D=0 (8.1-7) 由式(8.1-5)得 T X 由此可把原问题分解为关于X和T的常微分方程, x"+AX=0, 81-8) X(0)=0,X()=0; a2Y=0. (8.1-9) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 4/70 u(x, t) = X(x)T(t). (8.1-4) ª(8.1-4)\ª(8.1-1)Ú(8.1-2)§ XT00 − a 2X 00T = 0, (8.1-5) ( X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. (8.1-6) ")§T(t) , 0§¤±Ù. g. >. .. ^. . A(Ø X(0) = X(l) = 0. (8.1-7) dª(8.1-5) T 00 a 2T = X 00 X = −λ, dd ( r¯K©)'u X Ú T ~©§§ X 00 + λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; (8.1-8) T 00 + λa 2Y = 0. (8.1-9)
881.齐次方程的分离变数法 5/70 1.先求解X 当λ<0时 式(8.1-12)的解为 X=Cle C 积分常数C1和C2由边界条件确定 C1+C2=0 CIeV-dl+C2e-v-Al=0 →C1=-C2 因此X(x)=0→u(x,t)=0无意义,故λ≮0 当A=0时 X(r)=Clx +C2 由边界条件,得 C2=0 →C1=C2=0 C1l+C2=0, ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 5/70 1. k¦) X ✇ λ < 0 ª(8.1-12)) X = C1e √ −λx + C2e − √ −λx . È©~ ( ê C1 Ú C2 d>.^(½© C1 + C2 = 0, C1e √ −λl + C2e − √ −λl = 0, −→ C1 = −C2 = 0. Ïd X(x) = 0 −→ u(x, t) = 0 ÿ§ λ ≮ 0© ✇ λ = 0 X(x) = C1x + C2, d>. ( ^§ C2 = 0, C1l + C2 = 0, −→ C1 = C2 = 0