《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）5-4实对称矩阵的相似对角形

于是(xx得 Ax=x2x=元xTx, 及x'A=kAk=(Ax=(亿xyx'x 两式相减，得 (-)xx=0. 但因为x≠0， 所以 xx=2,=20,→-列=0， 即2=几，由此可得是实数

x Ax T x Ax T 及 x x T =  x x, T =  (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T =  x x. T =  两式相减，得 ( − )x x = 0. T   但因为x  0,  ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 =  =   = = n i i n i i i T 所以 x x x x x 于是 (1) x   得

引理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值几：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-:E)x=0 是实系数方程组，由A一入：E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量

引理5.4.1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i   

定理2设入，22是对称矩阵A的两个特征值，P1, P2是对应的特征向量若21≠元2，则p与p2正交. 条件： P1=Ap1,22P2=Ap2,九1≠2， :A对称，A=AT, 要证 p与p2正交. 即 (8-)p,p=0. 即 p,'p,=2p,'n .=()=(Ap)=PIAT=p'A, 1p1P2=p1Ap2=p1(2P2)=2p1P2

, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p      ( 1 2 2 ) 1 0. T 即   − = p p 要证 1 2 p p 与 正交. 2 2 1 1 1 2 T T 即   p p p p = ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = 条件：

证明入P1=A1,2P2=Ap2,21≠2， A对称，A=A, =(p)=(Ap)=pA=pA, 于是元1p,p2=p1p2=p,(2P2)=2p,7p2, → (21-22)p1p2=0. 1≠2，.p1p2=0.即p1与p2正交

证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) 0.  1 − 2 p1 p2 = T   , 1  2 .  p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T