注由上述定义可知，fx)在xo点的连续性是描述,f(x)在xo点邻域的性态的.即它是对某一邻域而言.因此在孤立点处无连续可言般讲,证明的命题用函数连续的定义1方便；判断函数在某点是否连续，尤其是判断分段函数在分界点处是否连续用定义2方便
6 注 由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的.即它是对某 一邻域而言.因此在孤立点处无连续可言. 一般讲,证明的命题用函数连续的定义1方 便;判断函数在某点是否连续,尤其是判断分 段函数在分界点处是否连续用定义2方便
A函数的连续性与间断点imaoANom例证明y= sinx 函数在区间(-oo,+oo）内连续证任取x E(-00,+),Ay= sin(x + Ax) -sin xAxArAxAxArsin≤2-1sincos(x +22222Ax4x → 0=|4x?即lim △y = 00≤1cos(x24x→0即函数 = sinx对任意xE(-oo,+)都是连续的类似可证，函数 = cos x 在区间(-0,+oo)内是连续的
7 例 证明 函数在区间 内连续. 证 任取 y = ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1 2 cos( + x x sin( x + x) −sin x lim 0 0 = → y x 0 即 函数的连续性与间断点 y x = sin ( , ) − + x − + ( , ), 即函数 对任意 都是连续的. 类似可证，函数 在区间 内是 连续的. y x = sin x − + ( , ) y x = cos ( , ) − + = x x → 0 2 2 sin x x lim 0 0 = → y x
定义2limf(x)=f(x）X-1x0,xsin在x= 0例 试证函数f(x)x0,x=0,处连续。证 ：:limxsin-0.x-→0x又 f(0) = 0, lim f(x)= f(0),函数f(x)在x=0处连续D
8 定义2 lim ( ) 0 f x x→x ( ) x0 = f 例 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) = = = x x x x x f x 在 证 = → x x x 1 lim sin 0 又 f (0) = 0, 函数 f x x ( ) . 在 = 0处连续 lim ( ) (0), 0 f x f x = → 0, 试证函数 处连续
3.左、右连续若 lim f(x)= f(x)(f(x-0)= f(x))则称f（x）在点x.处左连续（continuityfromtheleft);若 lim f(x)= f(x) (f(x +0)= f(x))x-x+0则称f(x)在点x.处右连续(continuityfromtheright)V右连续左连续oTo1XoxoxxA
9 3. 左、右连续 0 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − 若 = 则称f (x)在点x0 处 lim ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x = → + 若 则称f (x)在点x0 处 ( ( 0) ( )), 0 x0 f x − = f ( ( 0) ( )), 0 x0 f x + = f 左连续(continuity from the 右连续(continuity from the left); right). 0 x 左连续 0 x 右连续 x y O x y O
函数f(x)在x处连续定理1函数f(x)在xo处既左连续又右连续(f(x, -0) = f(x, +0) = f(x))此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性10
10 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性 ( ( 0) ( 0) ( )) 0 0 x0 f x − = f x + = f 函数 在 处连续 函数 在 处既左连续又右连续. f x( ) x0 f x( ) x0