《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第四章 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间.它是”的一个子空间， 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、4.2.2知， 它一定有无穷多非零解要求出(4-5)的所有解，只需 求出解空间的一个基就行了. 下面我们来求解空间的一个基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A的 前个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章 线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间. 它是R n的一个子空间. 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、4.2.2知， 它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的所有解，只需 求出解空间的一个基就行了. 下面我们来求解空间的一个基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A的 前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章线性方程组 b 0 b I= rrt n 0 0 0 0 0 0 0 与对应的线性方程组为 -b.rbi.Xn (4-7) X,=-b,+1X,+1-.-b,mXm

第四章 线性方程组 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I + +               =             1 1, 1 1 1, , 1 1 , (4 7) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x + + + +  = − −−     −  = − −−  与I对应的线性方程组为

第四章线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程组(4-7中， 给定x+1,Xm一组确定的数，可惟一确定x1,x,的值， 便得到方程组(4-7)的一个解，也就是方程组(4-5)的一 个解，我们把x+1.xn称为自由未知量. 令x+1xn分别取下列n一组数 0 X,+2 .1

第四章 线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程组(4-7)中， 给定xr+1,.,xn一组确定的数，可惟一确定x1 ,.,xr的值， 便得到方程组(4-7)的一个解，也就是方程组(4-5)的一 个解，我们把xr+1,.,xn称为自由未知量. 令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x x + +                   =                                   ， ，

第四章线性方程组 由(4-7)依次可得 01,r+1 x. -b.r -。 从而得到(4-7)也就是(4-5)的-个解 -b1+1 -b1,r+2 一b1,n 一br+1 一br.r+2 51= 5= 0 5n-r= 0 0 1 0 0

第四章 线性方程组 1 1, 1 , 1 r r r r x b x b + +     −        =          −  ， 1, 2 , 2 r r r b b + +   −        −  ， 1, , n r n b b   −        −  ， 由(4-7)依次可得 . 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解 1, 1 , 1 1 1 0 0 r r r b b  + +   −        −   =              ， 1, 2 , 2 2 0 1 0 r r r b b  + +   −        −   =              ， 1, , 0 0 1 n r n n r b b  −   −        −   =              .