第五节 函数的微分

第二章第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、 微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分 第二章

一、微分的概念引例：正方形金属薄片受热后面积的改变量(Ar)设边长由x.变到x+△x，XArXAr：正方形面积A=x,AX:. △A=(x, +△x) - xxoA=xoA= 2x, · Ax +(Ax)?(1)(2)(1)：△x的线性函数,且为△A的主要部分(2)：△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略

一、微分的概念 引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2) x的线性函数,且 为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0

又如,设函数y=x在点x.处的改变量为△x时求函数的改变量y.Ay= (x, + Ar)3 -x)= 3x, . △x + 3x, ·(△x)2 +(△x)3(1)(2)当△x|很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x),:Ay～~3x·△x.既容易计算又是较好的近似值

, , 0 又如 设函数 y = x 3在点x 处的改变量为x时 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0  x + x  x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y  x  x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 求函数的改变量y

问题：一般函数y=f(x)是否也有4y = f (x+4x) - f (x) = A4x + o(4x)?A是什么？如何求？

问题: 一般函数 y = f (x)是否也有 y = f (x+x) – f (x) = Ax + o(x)? A是什么?如何求?

定义：若函数y=f(x)在点 xo的增量可表示为△y= f(xo +△x) - f(xo) = A△x +o(△x)(A 为不依赖于△x的常数)则称函数 =f(x)在点xo可微,而 A△x称为f(x)在点xo的微分,记作dy或df，即dy = A△x

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax = Ax + o(x) 在点 可微