由定义知：(1) dy是自变量的改变量Ax的线性函数(2)Ay－dy=o(△x)是比△x高阶无穷小(3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小;(4) A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关(5)当△x很小时,Ay~dy (线性主部)更通俗地说，dy是△y的线性近似
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 更通俗地说, dy 是 Δ y 的线性近似
可微与可导的关系定理：函数y=f(x)在点x可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且 A=f'(xo)，即dy = f(xo)△x证：“必要性”已知y=f(x)在点 xo可微,则△y= f(xo +△x)- f(xo) = A△x +o(△x)o(△x)Dylim: lim (A+A△x△x-→>0Ax->0 △x故=f(x)在点 xo的可导,且f(xo)= A
定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 可微与可导的关系
定理：函数=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo)，即dy = f(xo)△x已知=f(x)在点xo的可导，则“充分性”Ay= f'(xo)limAx-0 △xAy=f'(xo)+α ( limα=0)△x△x-→>0故 △y= f(xo)△x+α△x = f'(xo)△x +o(△x)线性主部即 dy= f'(xo)△x
定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则
微分的几何意义切线纵坐标的增量dydy= f'(xo)Ax = tanα · △xy= f(x)V当△x很小时，△y～dy11通常把自变量的增量ax0xoAx称为自变量的微分，记作dxXo +Ax则有dy= f'(x)dxdy= f'(x)导数也叫作微商从而dx
微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x) 0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y dy 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y = 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 x称为 自变量的微分, 记作 dx 通常把自变量的增量