4.5微积分学基本定理一、引例在变速直线运动中,已知位置函数 s(t)与速度函数v(t)之间有关系：s'(t) = v(t)物体在时间间隔T，T1内经过的路程为v(t)dt = s(T2)- s(T)T这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 一、引例
二、变上限函数及其导数定义:设函数f (x)在[a,b]上可积,则对于任意的x E[a,b]f(x)在[a,x]上也可积,称f(t)dt为f(x)的变上限的定积分记作Φ(x),即Φ(x)=[f (t)dty当f (x)≥0时,变上限的定积分Φ(x)在几何上表示为d(x)右侧邻边可以变动的曲边梯形的面积0bxax
二、变上限函数及其导数 定义设函数 在 上可积则对于任意的 : [ , ] , [ , ], f x a b x a b ( ) ( ) [ , ] , , ( ) ( ) x a f x a x f t dt f x 在 上也可积 称 为 的变上限的定积分 ( ), = . ( ) ( ) x a x x f t dt 记作 即 (x) x y = f (x) a b x y O ( ) 0 , ( ) : 当 时 变上限的定积分 f x x 在几何上表示为 右侧邻边可以变动的曲边梯形的面积
定理1.若f(x)是[α,b]上的连续函数,则变上限定积分D(x)=[f(t)dt (a≤x≤b)= f(x)y在[a,b]上可导,且有Φ(x)=f(x)dx即(x)是f(x)在[α,b]上的一个原函数.Ob xaXE证：Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x +h) -Φ(x)[* ()dt-()d ]hh1 rx+hf(t)dt=f() (x<<x+h)hJx：f(x)在[a,b]上连续D(x+h)-Φ(x) = lim f() = f(x).. Φ(x)= limhh->0h→>0
(x) x x + h 则变上限定积分 ( ) ( )d ( ) x a = x f t t a x b 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x) h 1 = − + x a x h a f (t)dt f (t)dt + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 定理1. 若 y = f (x) a b x y O f x a b ( ) [ , ] , 是 上的连续函数 在 上可导且有 a b x f x , , . = ( ) ( )
说明：1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的通过原函数计算定积分开辟了道路。d1[rcosaj -cose.g.2)其他变限积分求导：r"f()dt =-f(x)dxddr p(x)Φ[g(x)]f(t)dtdxdx JC=Φ[p(x)]p'(x) = f[p(x)lp'(x)ddrp(x)p(x)f(t)dt +f(t)dtdidxJy(xdxJ(xa= f[p(x)]p(x)- f[y(x)ly(x)
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 说明: 2 0 d e.g. cos d = d x t t x 2 cos . x = ( ) d x dx = ( x x ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
d ln(1+t)dt例求dx2dte0-0例. 求limcos.xx->021洛-cos~xesinx)解：原式兰-lim2e2xx-→0
e ( sin ) 2 cos x x − − 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 洛 例. 求 ( ) 1 2 : ln 1 . x d t dt dx − + 例 求