第七节曲率1.弧微分2.曲率及其计算公式3.曲率圆与曲率半径4.小结、作业1/8
*第七节 曲 率 1. 弧微分 2. 曲率及其计算公式 3. 曲率圆与曲率半径 4. 小结、作业 1/8
一、弧微分V设f(x) ECl(a,b),y=f(x)dsTdy.....ds = /(dx)2 + (dy)dxx0=/1+ y"dx,弧微分公式2/8
一、弧微分 T ( ) ( , ), 1 设f x C a b x y o y=f(x) dx dy 1 , 2 = + y dx 弧微分公式 2 2 ds = (dx) + (dy) ds 2/8
二、曲率及其计算公式1、曲率的定义Aa2AaMAS,AS,M2MM,NAS,AS,NAaM,弧长相同时，转角变化越大转角相同时，弧段越短曲曲线的平均弯曲程度越大。线的平均弯曲程度越大。Aa平均曲率曲率弧段的平均弯曲程度AsdaAa弧段在一点处的弯曲程度：K=limdsAsA5-0曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。3/8
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的 量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧长相同时，转角变化越大 曲线的平均弯曲程度越大。 转角相同时，弧段越短曲 线的平均弯曲程度越大。 1、曲率的定义 1 弧段的平均弯曲程度： s 弧段在一点处的弯曲程度 ： s K s = → 0 lim ds d = 平均曲率 曲率 3/8
例1（1)直线的曲率0AαdaKlim= 0,imdsAsAsAs>0As-→0：直线的曲率处处为零；(2）圆上各点处的曲率As=r.AαdaAαlimK=limdsAsAs-→0As-→0 r：圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆的半径越小曲率越大4/8
例1 (1) 直线的曲率 (2) 圆上各点处的曲率 直线的曲率处处为零; s s = → 0 lim ds d K = s s = → 0 lim 0 = 0， 圆上各点处的曲率等于半径的倒数. s s = → 0 lim ds d K = s r s r 1 lim →0 = = ， r 1 = 圆的半径越小曲率越大. 4/8
2、曲率的计算公式(l)设y= f(x)二阶可导： tanα = y',:有α=arctan y,[y"y"dx,又: ds = /1 + y" dx. . K =..dα =1+j"3(1 + y2)2x = (t),y'(t)二阶可导：(2) 设曲率计算公式dxq'(t)(y=y(t),d'yP'(t)y"(t) -p"(t)y'(t)d(8)-(8)/p(t) = 9dx?p"3(t)dxp'(t)y"(t) -p"(t)y'(t)曲率计算公式:K-3[p" (t) +y" (t)]5/8
2、曲率的计算公式 (1) 设y = f (x)二阶可导,tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y K + = 有 = arctan y , 1 . 2 又ds = + y dx ( ), , 曲率计算公式 ( ), (2) 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t K + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t − = = ( ) ( ) 2 2 t t dx d dx d y / ( ) ( ) ( ) t t t = 曲率计算公式 5/8