第四章 不定积分

第四章不定积分微分法：F'(x)=（？）互逆运算积分法：（？）=f(x)

第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分

第四章第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表二三、不定积分的性质HIGHER EDUCATIONPRESS上页下页返回结束自录

目录 上页 下页 返回 结束 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章

原函数与不定积分的概念一引例：一个质量为 m 的质点,在变力 F = Asint 的作下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t)FA根据牛顿第二定律，加速度a(t)== ==sintmm因此问题转化为: 已知 v(t)==sint,求 v(t)=？m定义1.若在区间 I上定义的两个函数 F(x) 及 f(x)满足 F'(x)= f(x) 或 dF(x)= f(x)dx,则称 F (x) 为f(x)在区间1上的一个原函数A如引例中sint的原函数有-cost +3,..costmmmHIGHER EDUCATIONPRESSA目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v  t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A

问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上定理1.（下章证明）存在原函数初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数HIGHER EDUCATIONPRESS上页下页返回结束自录

目录 上页 下页 返回 结束 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数

定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族F（x)+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)'=F(x) = f(x):. F(x)+C是 f(x)的原函数2)设Φ(x)是f(αx)的任一原函数，即@(x)= f(x)又知F'(x)= f(x)[Φ(x)- F(x)]I=Φ(x)- F(x) = f(x)- f(x)= 0故Φ(x)=F(x)+Co(Co为某个常数)它属于函数族F(x)+CHIGHEREDUCATIONPRESS上页下页返回结束自录

目录 上页 下页 返回 结束 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知  [(x) − F(x)] =(x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 它属于函数族 F(x) +C . 即