平面曲线的曲率

第三章第七节平面曲线的曲率与切线的转角有关曲线的弯M曲程度与曲线的弧长有关MM主要内容：弧微分曲率及其计算公式三曲率圆与曲率半径DHIGH EDUCATION PRESS下页返回结束机动目录上页

第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 𝛥𝛼 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 平面曲线的曲率 第三章

弧微分一、设AB其图形为在(αa，b)内有连续导数y= f(x)弧长y=f()SAM三s(x上MAsIMM'MMAAxAxIMMIAx(4x)2+(42MM国AxIMM'IXa事x+AxMM'MMMM'lim土1IMMT4X-04slimsx二V1+(y024Y-DAxHIGH EDUCATION PRESS上页目录返回结束机动下页

一、 弧微分 设 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 𝑠 = AM = 𝑠(𝑥) 𝛥𝑠 𝛥𝑥 = 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 𝛥𝑥 = 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ (𝛥𝑥) 2 + (𝛥𝑦) 2 𝛥𝑥 = ± 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 1 + ( 𝛥𝑦 𝛥𝑥) 2 ∴ 𝑠 ′ (𝑥) = lim 𝛥𝑥→0 𝛥𝑠 𝛥𝑥 = 1 + (𝑦 ′) 2 𝛥𝑥 𝐴 𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑥 𝑜 𝑦 𝑥 𝑀 𝑥 + 𝛥𝑥 𝑀′ 𝛥𝑦 lim 𝛥𝑥→0 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ = ±1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1+(y/)2s(x)=或ds =(dx)2+(dy)ds=V1+(02dxx=x(t)若曲线由参数方程表示y=y(t)ds=V2+2dt则弧长微分公式为几何意义：dsIMTIMdydxdxdysineCOS:dsdsx+dxX工HIGH EDUCATION PRESS上页目录返回结束机动下页

则弧长微分公式为 𝑑𝑠 = 𝑥Ǘ 2 + 𝑦Ǘ 2 𝑑 𝑡 𝑠 ′ (𝑥) = 1 + (𝑦 ′) 2 ∴ 𝑑𝑠 = 1 + (𝑦 ′) 2𝑑𝑥 或 𝑑𝑠 = (𝑑𝑥) 2 + (𝑑𝑦) 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑜 𝑥 𝑦 𝑥 𝑀 𝑑𝑦 𝑇 𝛼 几何意义: 𝑑𝑠 = 𝑀𝑇 𝑑𝑥 𝑑𝑠 = cos𝛼 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑠 = sin𝛼 若曲线由参数方程表示: ቊ 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

、曲率及其计算公式对应切线其长为在光滑弧上自点M开始取弧段As定义转角为Aa弧段上的平均曲率4sK一一MASAat4sM点M处的曲率SK=limds注意：直线上任意点处的曲率为0！HIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 𝛥𝑠 , 对应切线 𝛥𝛼 , 定义 弧段 𝛥𝑠 上的平均曲率 𝐾 = 𝛥𝛼 𝛥𝑠 𝛥𝛼 𝑀 𝑀′ 𝛥𝑠 点 M 处的曲率 𝐾 = lim 𝛥𝑠→0 𝛥𝛼 𝛥𝑠 = 𝑑𝛼 𝑑𝑠 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率解：如图所示AS=RAαAlimK二ASAS-40可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小HIGH EDUCATION PRESS上页目录下页返回结束机动

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 𝛥𝑠 = 𝑅𝛥𝛼 ∴ 𝐾 = lim 𝛥𝑠→0 𝛥𝛼 𝛥𝑠 = 1 𝑅 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 𝛥𝛼 𝛥𝑠 𝑅 𝑀 𝑀′ 𝛥𝛼 机动 目录 上页 下页 返回 结束