数量积 向量积 混合积

第八章第二节数量积向量积*混合积一、两向量的数量积二、 两向量的向量积*三、向量的混合积0000X目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八章

一、两向量的数量积引例.设一物体在常力 F作用下，沿与力夹角为的直线移动，位移为，则力F所做的功为FW=Fcos01.定义0SM2M设向量,b的夹角为,称记作a.b[a6|cos 0W=F.s为a与b的数量积(点积)0000x目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s

当a≠时,b在a上的投影为6记作1 6|cos 0T01Prja ba故a.b=aPrj, ba+0,b+0同理,当b±0时则a.b=0a.b=|bPrjsaII2.性质元(1) a.a=al2a, b2(2）a,6为两个非零向量,则有a.b=0alba.b=|abcos 00000?目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束  记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b Prja  b a b = a ba Prj  (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 当a  0 时, b 在 a 上的投影为 同理,当b  0 时, a b

3.运算律(1)交换律 a.b=b.aba(2）结合律（α,u为实数)(a+b)(aa).b=a.(ab)= a(a.b)c(aa).(ub) = a(a.(ub))Prjea Prj.b= aμ(a.b)Prje(a+b)(3)分配律（a+b).=a.+.事实上，当=时,显然成立；当≠0时(a+b)=|Prj(a+b)=|l(Prja+Prj.b)=Prj.a +Prj.b =a. +b.ce000x目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) =  ( a ( b)) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a a Prjc  b c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj ac = c Prj bc + Prj c = a  c + b c Prj (a b) c  +

例列1.证明三角形余弦定理c2 = α2 +b2 _2abcos06证：如图.设cCB=a, CA=b, AB-cCa则c-a-bBzl2 =(a-b).(a-b)=aa +b.b-2a.b=|2+|2-2||cos[a=|],b=|b],c=|c2 = α2 +b2 -2abcos000X目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 如图 . 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab CB = a, CA = b, AB = c A B C  a b c = 2 c (a −b)(a −b)= a  a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 设