实变函数（第15讲）
实变函数（第15讲）
第15讲教学内容：可测集及其基本性质2026/9/22实变函数（第十二讲）2
2026/9/22 实变函数（第十二讲） 2 第15讲 教学内容： 可测集及其基本性质
第2章测度论1.1外测度定义1ER"，则称mE=infLIU-EI为长方体是点集E的外测度上一次课的最后一个结果。引理3外测度不是对于所有集合具有可数可加性。问题：怎样的集合类相对于外测度具有可数可加性？1.2可测集及其性质一．可测集的概念。定义2假设EcR"，E称为是Lebesgue可测的（简称E是可测的)，如果vTcR"，恒有mT=m(TnE)+m(TnE)这时，称mE是点集E的Lebesgue测度（简称测度）记为mE。命题1ER"，E是可测集一VACE，VBCE，有m(AUB)=mA+mB。32026/9/22实变函数（第十二讲）
2026/9/22 实变函数（第十二讲） 3 第 2 章 测度论 1.1 外测度 定义 1 n E ，则称 * 1 1 inf , n n n n n m E I I E I = = = 为长方体 是点集 E 的外测度。 上一次课的最后一个结果。 引理 3 外测度不是对于所有集合具有可数可加性。 问题：怎样的集合类相对于外测度具有可数可加性？ 1.2 可测集及其性质 一．可测集的概念。 定义 2 假设 n E ，E 称为是 Lebesgue 可测的（简称 E 是可 测的），如果 n T ，恒有 ( ) ( ) * * * m T m T E m T E = + C 这时，称 * m E 是点 集 E 的 Lebesgue 测度（简称测度）记为mE。 命题 1 n E ，E 是可测集 A E， B E C ，有 ( ) * * * m A B m A m B = +
证：（=)设E是可测集，即vTcR"，mT=m(TnE)+m(TNE)，VACE， VBcSE令T=AUB，则m (AUB)=m (AUB)NE)+m (AUB)NE)=m (ANE)+m (BNEE)=m A+mB 。()设VAcE， VBcE =m(AUB)=mA+mB，则vTcR",TNEcE， TNEcE， 故mT=m(TNE)U(TNE)=m(TNE)+m(TNE)。从而，E可测。二．可测集的基本性质。定理1(i)设EcIR"，则E可测一E可测。(i)如果mE=0，则E可测。(iii)の与R"都可测。证：(i)E可测一TR"，mT=m(TNE)+m(TNE)一mT=m (TNE)+m (TNE)=E 可测。2026/9/22实变函数（第十二讲）4
2026/9/22 实变函数（第十二讲） 4 证：() 设 E 是可测集，即 n T ， ( ) ( ) * * * m T m T E m T E = + C ， A E， B E C 令T A B = ，则 ( ) (( ) ) (( ) ) * * * m A B m A B E m A B E = + C ( ) ( ) * * * * = + = + m A E m B E m A m B C 。 () 设 A E， B E C ( ) * * * m A B m A m B = + ，则 n T ， T E E ，T E E C C ，故 (( ) ( )) * * m T m T E T E = C ( ) ( ) * * = + m T E m T EC 。 从而，E 可测。 二．可测集的基本性质。 定理 1 (i)设 n E ，则 E 可测 CE 可测。 (ii) 如果 * m E = 0，则 E 可测。 (iii) 与 n都可测。 证：(i) E 可测 n T ， ( ) ( ) * * * m T m T E m T E = + C ( ) ( ) * * * m T m T E m T E = + C CE 可测
(ii)设mE=0，则vTc R"，m(TNE)≤mE=0即m(TNE)=0。mT =m[(TNE)U(TNEE)|≤m (TNE)+m (TNE)≤m (TNEE)≤mT 。故mT=m(TNE)+m(TNE)。从而E可测。(iii)因为mの=0，所以の可测，又因为の=R"，故R"可测。口定理2若s，S,可测，则S,US,也可测。证明：VTR"，我们证明：mT=m[Tn(SUs,)]+m[Tn(S,US,)]。首先将T分成四块互不相交的子集合。T=T-(SUS) T,=TNS,-S2 T =TNS,-S, T =TNS,NS① m(TUT)=mT+mT,事实上，因为TcS，T,cSi，由s 的可测性和命题1,m(TUT)=mT+mT, 。② mT=m(TUT)+m(TUT)事实上，TUT,S,，T,UTS,，由s,的可测性，则②式真。52026/9/22实变函数（第十二讲）
2026/9/22 实变函数（第十二讲） 5 (ii) 设 * m E = 0，则 n T ， ( ) * * m T E m E = 0即 ( ) * m T E = 0。 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * m T m T E T E m T E m T E = + C C ( ) * * m T E m T C 。 故 ( ) ( ) * * * m T m T E m T E = + C 。从而 E 可测。 (iii) 因为 * m = 0，所以可测，又因为 n C = ，故 n可测。 定理 2 若 1 S ， 2 S 可测，则 1 2 S S 也可测。 证明： n T ，我们证明： ( ) ( ) * * * m T m T S S m T S S = + 1 2 1 2 C 。 首先将 T 分成四块互不相交的子集合。 T T S S 1 1 2 = −( ) T T S S 2 1 2 = − T T S S 3 2 1 = − T T S S 4 1 2 = ① ( ) * * * m T T m T m T 1 2 1 2 = + 事实上，因为T S 1 1 C ，T S 2 1 ，由 1 S 的可测性和命题 1， ( ) * * * m T T m T m T 1 2 1 2 = + 。 ② ( ) ( ) * * * m T m T T m T T = + 1 2 3 4 事实上，T T S 1 2 2 C ，T T S 2 3 2 ，由 2 S 的可测性，则②式真