1dx.1例4 求积分*atxx1+e? +e3 -解 令t=ea=x=6lnt,dx==dt,116dx = dtXIxxI+t3+t?+t t1+e? +e3 +e?133t+36=6dtdtt(1+t)(1+t°)1+t?1+t
例4 求积分 解 . 1 1 2 3 6 dx e e e x x x + + + 6 6 6ln , , x t e x t dx dt t 令 = = = 3 2 2 3 6 1 1 6 1 1 x x x dx dt t t t t eee = +++ +++ 2 1 6 (1 )(1 ) dt t t t = + + 2 6 3 3 3 1 1 t dt t t t + = − − + +
3t +33dt1+t?1+t3 r d(1+t)dt .=6lnt-3ln(1+t)-1+t?23-In(1+t')+ C= 6lnt -3ln(1+ t)-3arctant -2xx3= x-3ln(1+e)-3arctan(e°)-=ln(1+e3)+C2
3 2 6ln 3ln(1 ) 3arctan ln(1 ) 2 = − + − − + + t t t t C 2 6 3 3 3 1 1 t dt t t t + = − − + + 6 6 3 3 3ln(1 ) 3arctan( ) ln(1 ) . 2 x x x = − + − − + + x e e e C 2 2 2 1 3 (1 ) 6ln 3ln(1 ) 3 1 2 1 d t t t dt t t + = − + − − + +
说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法例5. 求 1=[2x*+2x*+5x+5dx.x* +5x2 +42x2+5解： 1=[ ,2x°+5xdxdx+5x2+44 +5x2 +4rd(x* +5x + 4)(x2 +1) +(x2 +4)电dxx*+5x2+4(x2 +1)(x2 + 4)分项x==In|x* + 5x? + 4|+ =arctan+ arctanx + C-22
2 2 d ( 1)( 4) x x x + + + 2 2 ( 1) ( 4) x x + + + 例5. 求 3 2 4 2 2 2 5 5 d . 5 4 x x x I x x x + + + = + + 3 4 2 2 5 d 5 4 x x I x x x + = + + 2 4 2 2 5 d 5 4 x x x x + + + + 4 2 4 2 1 d( 5 4) 2 5 4 x x x x + + = + + 1 4 2 ln 5 4 2 = + + x x 1 arctan 2 2 x + + + arctan x C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 分项
卜练习求dx.(x2 + 2x +2)(x2 +2x+2)-(2x+2)解：原式=dx(x2 +2x+2)dxd(x~+2x+2)-J (x+1)+1(x2 +2x + 2)1+C= arctan(x+1) + +2x+2
练习. 求 2 2 2 d . ( 2 2) x x x x + + 解: 原式 2 2 d ( 2 2) x x x = + + 2 ( 2 2) (2 2) x x x + + − + 2 d ( 1) 1 x x = + + 2 2 2 d( 2 2) ( 2 2) x x x x + + − + + = + arctan( 1) x 2 1 2 2 C x x + +
X例6 求dx100分析这是有理函数的积分.分母是100次多项式如按部分分式法很麻烦.如作一个适当的变换使分母为单项，而分子为多项，除一下，化为和差的积分。解 作变换1-x=tr(1-t)2t+dtdt原式=一1100+1002dt-9098
例6 求 x x x d (1 ) 100 2 − 解 原式= 这是有理函数的积分. 如按部分分式法很麻烦. 使分母为单项, 作变换 1− x = t t t t d (1 ) 100 2 − − t t t t d 1 2 100 2 − + = − t t t t d 1 2 1 100 9 9 9 8 = − − + 分析 分母是100 次多项式, 如作一个适当的变换, 而分子为多项,除一下,化为和差 的积分