有理函数化为部分分式之和的一般规律Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)β(x? + px +q)~ ...(x2 + rx + s)(1）分母中若有因式(x一a)~，则分解后为AA.(x-a)a-1(x-a) +x-a其中A,A,,A,是常数A当α=1时,分解为x-a
（1）分母中若有因式 ( ) x a − ，则分解后为 1 2 1 , ( ) ( ) A A Ak x a x a x a − + + + − − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 1 , ; A x a = − 当 时 分解为 1 2 , , , . 其中A A Ak是常数 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +
Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)β(x? + px+q) ...(x? + rx+ s)(2）分母中若有因式(x2+px+g)~，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+N,Mx+NM,x+ N(x* + px+g)a- + .(x2 + px +q)x+ px+q其中M,N,是常数(i=1,2,…,2)Mx+ N特殊地：入=1，分解后为x? + px+q
（2）分母中若有因式 ，其中 2 ( ) x px q + + 则分解后为 2 p q − 4 0 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q − + + + + + + + + + + + + 特殊地： λ = 1, 分解后为 2 ; Mx N x px q + + + , ( 1,2, , ). M N i i i 其中 是常数 = λ 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法x+3Bx+3A例1x-5x+6(x -2)(x-3)x-3x-2x+3 = A(x-3)+ B(x-2)x+3=(A+B)x-(3A+2B)A+ B=1,A=-5LB=6-(3A+2B) = 3,-56x+3+x2-5x+6x-2x-3
真分式化为部分分式之和的待定系数法 2 3 5 6 x x x + − + 3 ( 2)( 3) x x x + = − − , 2 3 A B x x = + − − x A x B x + = − + − 3 ( 3) ( 2), + = + − + x A B x A B 3 ( ) (3 2 ), 1, (3 2 ) 3, A B A B + = − + = 5 , 6 A B = − = 2 3 5 6 x x x + − + 5 6 . x x 2 3 − = + − − 例1
说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：Mx+ NA(3)(2)(1) 多项式;(x + px +q)"(x-a)"Mx+ Ndx,讨论积分9)"(x? + px +2pp: x2 + px + q =Ix++q2-P-2令x+
说明: 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： (1) 多项式； (2) ; ( )n A x a − 2 (3) ; ( )n Mx N x px q + + + 讨论积分 2 , ( )n Mx N dx x px q + + + 2 2 2 , 2 4 p p x px q x q + + = + + − 令 t p x + = 2
记 x2+px+q=t2+a2，Mx + N = Mt + b.Mpp则 α2=qb=N124Mx + Ndx(x? + px+q)bMtdtdt ++a")"(t?+a'")"(t2
2 2 , 4p a q = − , 2 Mp 则 b N= − 2 ( ) n Mx N dx x px q + + + 2 2 ( ) n Mt dt t a = + 2 2 ( ) n b dt t a + + , 2 2 2 记 x + px + q = t + a Mx + N = Mt + b