高等学校21卌纪教材 第九章格与布尔代数 91橙 9.2布尔代数 9.3子布尔代数、积布尔代数 初布尔代数同态 9.4布尔代数的原子表示 9.5布尔代数B2 9.6布尔表达式及其范式定理 PT PRESS 人民邮电出版社 退出
第九章 格与布尔代数 9.1 格 9.2 布尔代数 9.3 子布尔代数、积布尔代数 和布尔代数同态 9.4 布尔代数的原子表示 9.5 布尔代数Br 2 9.6 布尔表达式及其范式定理 退出
高等学校21卌纪教材 91格 1.格作为偏序集 定义9..1设<L,>是一个偏序集,若对任 意a,b,∈L,存在gb{a,b}和lub{a,b},则称<L 为格,并记为a*b=gb{a,b},a⊕b=lub{a,b},称 ∧和分别为L上的交(或积)和并(或和)运 算。称<L,,*>为<L,所诱导的代数结构的格 若L是有限集合,称<L,☆为有限格 PT PRESS 人民邮电出版社
9.1 格 1．格作为偏序集 定义9.1.1 设<L,≤>是一个偏序集，若对任 意a,b,L，存在glb{a,b}和lub{a,b}，则称<L,≤> 为格，并记为a*b=glb{a,b}，ab=lub{a,b}，称 和分别为L上的交（或积）和并（或和）运 算。称<L,,*>为<L,≤>所诱导的代数结构的格。 若L是有限集合，称<L,≤>为有限格
高等学校21卌纪教材 格的对偶性原理是成立的: 令<L,>是偏序集,且<L,≥是其对偶的偏 序集。若<L,是格,则<L,≥也是格,反之亦 然。这是因为,对于L中任意a和b,<L,>中 lub{a,b}等同于<L,>中gIb{a,b},<L,中 glb{a,b}等同于<L,≥中的lb{a,b}。若L是有限 集,这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得 到验证 PT PRESS 人民邮电出版社
格的对偶性原理是成立的： 令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏 序集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦 然。这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中 lub{a,b}等同于<L,≥>中glb {a,b}，<L,≤>中 glb{a,b}等同于<L,≥>中的lub{a,b}。若L是有限 集，这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得 到验证
高等学校21卌纪教材 从上讨论中,可知两格互为对偶。互为对 偶的两个<L和<,≥>有着密切关系,即格 <L,中交运算∧正是格<L,≥中的并运算v,而 格<L,>中的并运算v正是格<L,≥>中的交运算入 因此,给出关于格一般性质的任何有效命题 把关系<换成≥(或者≥换成≤),交换成并,并 换成交,可得到另一个有效命题,这就是关于 格的对偶性原理。 定义9.1.2设<L,☆是格,且ScL。若对任 意a,b∈S,有a*b∈S和a⊕b∈S,则称<S,是格 >的子擦。 PT PRESS 人民邮电出版社
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对 偶的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格 <L,≤>中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而 格<L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。 因此，给出关于格一般性质的任何有效命题， 把关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并 换成交，可得到另一个有效命题，这就是关于 格的对偶性原理。 定义9.1.2 设<L,≤>是格，且SL。若对任 意a,bS，有a*bS和abS，则称<S,≤>是格 <L,≤>的子格
高等学校21卌纪教材 2.格的基本性质 在证明格的性质前,回忆一下a为b和ab的 真正含义是有好处的 ①a*b≤a和a入b≤b,则表明a*b是a和b的下 界 ②若ca和cb,则∝a*b,这表明a为b是a 和b的最大下界。 ①’a≤ab和b≤ab,则表明ab是a和b 的上界。 49b是a和b的最小上免e,则ab≤c,这表明 ②’若a≤c,且b PT PRESS 人民邮电出版社
2．格的基本性质 在证明格的性质前，回忆一下a*b和ab的 真正含义是有好处的。 ①a*b≤a和ab≤b，则表明a*b是a和b的下 界。 ②若c≤a和c≤b，则c≤a*b，这表明a*b是a 和b的最大下界。 ①’a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b 的上界。 ②’若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明 ab是a和b的最小上界