Lebesgue引理 梅加强 南京大学数学系 http://math.nju.edu.cn/meijq 设(,p)为度量空间,ACX,定义A的直径为 X中的子集S称为序列紧的,如果S中任何点列均有收敛子列,且该子 列极限仍在S中例如,Rn中有界闭集是序列紧的 定理(Lebesgue引理).设S为(X,p)中的序列紧集{Ga}aer为S 的一个开覆盖,则存在入>0,使得当S中子集A的直径d(A)小于入 时,A一定包含于某个G内 证明:(用反证法).假设结论不成立,则对n≥1,nS,使 得d(A)<,而An不完全包含于某个内在An中取点an,则 {an}为S中点列,由于S是序列紧致的,它有收敛子列{an}使得 nank=ao∈s.由于{gaaer为s的一个开覆盖,故存在ao∈r 使得a∈Gao.因此,36>0,s.tBao()CGao n+ank=a0,故可取充分大的nk且 p(anko,)< 此时,对∈An,有 《数学分析》补充材料2006.3 1
Lebesgue ml∗ <'@ >-VLVR http://math.nju.edu.cn/˜meijq G (X, ρ) P72), A ⊂ X, Y A d.P d(A) = sup{ρ(a1, a2)|a1, a2 ∈ A}. X fg& S PU9,, F" S fD$9/^K6g9, A g 9%SE` S f. 4F, Rn f^+&JU9,. hi (Lebesgue [3). G S P (X, ρ) fU9,&, {Gα}α∈Γ P S X 0 , aÆ` λ > 0, I S fg& A d. d(A) T_ λ H, A X#_= Gα ?. kj: (\c). (G*: 5, a ∀n ≥ 1, ∃An ⊂ S, I d(A) < 1 n , An OC#_= Gα ?. ` An fB an, a {an} P S f9, ]_ S JU9,e, N^K6g9 {ank }, I lim n→+∞ ank = a0 ∈ S. ]_ {Gα}α∈Γ P S X 0 , !Æ` α0 ∈ Γ, I a0 ∈ Gα0 . Z , ∃δ > 0, s.t Ba0 (δ) ⊂ Gα0 . ]_ lim n→+∞ ank = a0, !1B nk0 > 2 δ , A ρ(ank0 , a0) < δ 2 . H, ∀x ∈ Ank0 , ^ ∗MW Q 8, 2006.3 1
p(a, ao)s p(t, anko)+ p(anko ,a0) ≤d(Ank0)+p(anb,a0) 16 nko 2 66 2+2 6. 而 An. C Ba0(6)cGa.这是一个矛盾!证毕
ρ(x, a0) ≤ ρ(x, ank0 ) + ρ(ank0 , a0) ≤ d(Ank0 ) + ρ(ank0 , a0) < 1 nk0 + δ 2 < δ 2 + δ 2 = δ. Ank0 ⊂ Ba0 (δ) ⊂ Gα. bJX ;! c. 2