Riemann可积的充要条件* 梅加强 南京大学数学系 http://math.nju.edu.cn/'meijq 定义1设ACR,如果>0,均存在覆盖A的至多可数个开区 间,使得这些开区间长度总和小于∈,则称A为零测集 例子(1)可数集是零测集:(2)零测度的子集仍为零测度;(3)可数 个零测度之并仍为零测集 设f是定义在[a,b上有界的实函数,x∈[a,b,定义f在x处的 振幅wf(x)为 wf()= lim sup{()-f(x2): T1, 2(x-r,+r) [a, b]} 易见,f在x处连续wf(x)=0.记D={x∈[a,wf(x)≥b},则f 的不连续点全体为D=UD n= 定理(Riemann可积的充要条件)[a,b上的有界函数 Riemann 可积D为零测集 证明(→)设f在[a,b上 Riemann可积,固定>0,对>0 存在[a,b的分割 :a=x0<x1<<n=b 使得 δ wif△x<e 1 《数学分析》补充材料,20073 1
Riemann zxwv|{y∗ 7(; :.ÆUIUO http://math.nju.edu.cn/˜meijq js 1 D A ⊂ R, B ∀ε > 0, / ^ A c1I 0= *, G`S0=*g#R] ε, _ A M6&. ou (1) 1I&H6&; (2) 6f&AM6; (3) 1I 6bAM6&. D f HY^ [a, b] C\,F"I, ∀ x ∈ [a, b], Y f ^ x a wf (x) M wf (x) = lim r→0 sup{|f(x1) − f(x2)| : x1, x2 ∈ (x − r, x + r) ∩ [a, b]} X+, f ^ x 4T ⇔ wf (x) = 0. ' Dδ = {x ∈ [a, b]|wf (x) ≥ δ}, _ f 4T?LM Df = S∞ n=1 D 1 n . jn (Riemann mkihrql) [a, b] C\,"I f Riemann 1% ⇔ Df M6&. tp (⇒) D f ^ [a, b] C Riemann 1%, δ > 0, ∀ ε > 0, ^ [a, b] π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, G X k i=1 wi(f) · ∆xi < ε · δ 2 ∗JVN 5, 2007.3 1
这里2(x)=sup{f(x)-f(x")川lx,x"∈{x2-1,xl}.如果x∈Ds∩ (x1-1,x),则显然v()≥(x)≥6,因此 △ 显然 (i- 4(n+1)4(n+ 且 ∑ 2(n+1)<+ Ds∩(x1-1,x3)≠ 由定义1,Db为零测集这说明,Df=∪D为零测集 (÷)设|f(x川≤M,Ⅴx∈a,b,由假设,Dr为零测集故ε>0, 存在开区间{(a;)=1,2,…},使得Dfc∪(a,A),且 ∑(1-a)< 对vr∈a,b-∪(a,A),因∫在x处连续故存在含x的开区间Ix,使 >1 得当t∈a,∩I时 f(t)-f(x)<ε. {(a,),x≥1,x∈a,b-U(a;,B)}为紧致集{a,b的一个开覆 盖故存在有限子覆盖{(a1,A),L1快k=1,2,…,m,l=1,2,……,n}.由 Lebesgue数定理可取a,b的分割 a=x0<x1<…<x=b, 使得Ⅴrz-1,;必含于某(ax,A)或l中此时 u1()△r;≤ l(f)·△r Ei-1, ic(ai Bin) ≤2M·+2·(b-a) 因此∫在a,b上 Riemann可积
`3 wi(x) = sup{|f(x 0 ) − f(x 00)| | x 0 , x00 ∈ [xi−1, xi ]}. B x ∈ Dδ ∩ (xi−1, xi), _P@ wi(f) ≥ wf (x) ≥ δ, Z X Dδ∩(xi−1,xi)6=∅ ∆xi < ε 2 P@ Dδ ⊂ [ Dδ∩(xi−1,xi)6=∅ (xi−1, xi) [n i=0 (xi − ε 4(n + 1), xi + ε 4(n + 1)) < X Dδ∩(xi−1,xi)6=∅ ∆xi + ε 4(n + 1) · 2(n + 1) < ε 2 + ε 2 = ε, [Y 1, Dδ M6&. `K8, Df = S n≥1 D 1 n M6&. (⇐) D |f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ [a, b], [)D, Df M6&, ∀ ε > 0, ^0=* {(αi , βi)|i = 1, 2, · · · }, G Df ⊂ S i≥1 (αi , βi), < X i≥1 (βi − αi) < ε. ∀ x ∈ [a, b] − S i≥1 (αi , βi), Z f ^ x 4T, ^! x 0=* Ix, G t ∈ [a, b] ∩ Ix E |f(t) − f(x)| < ε. {(αi , βi), Ix|i ≥ 1, x ∈ [a, b] − S i≥1 (αi , βi)} M-d& [a, b] W 0 , ^\Qf {(αik , βik ), Ixl |k = 1, 2, · · · , m, l = 1, 2, · · · , n}. [ Lebesgue I2, 1> [a, b] π : a = x0 < x1 < · · · < xl = b, G ∀ [xi−1, xi ] !]9 (αik , βik ) $ Ixl e. E X l i=1 wi(f)∆xi ≤ X [xi−1,xi]⊂(αik ,βik ) wi(f) · ∆xi + X [xi−1,xi]⊂Ixl wi(f) · ∆xi ≤ 2M · ε + 2ε · (b − a) Z f ^ [a, b] C Riemann 1%. 2