第四节线性方程组解的存在性
、线性方程组有解的判定条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解. 定理1n元齐次线 Amxnx性方程组=0有非零解 mxn 的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n 证必要性.设方程组Ax=0有非零解, 设R(A)=n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn从而 Dn所对应的n个方程只有零解(根据克拉默定理)
( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
这与原方程组有非零解相矛盾, R(4)=n不能成立.即R(4)<n 充分性.设R(A)=r<n, 则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行, 从而知其有n-r个自由未知量 任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0, 即可得方程组的一个非零解
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
例1求解齐次线性方程组 x1+2x,+x2+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x2-4x3-3x4=0 解对系数矩阵A施行初等行变换: 1221 1221 r2-2r1 A=21-2-2 0-3-6-4 1-1-4-3 0-3-6
例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解 - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -
10-2 122 r-2r 012 01,4 2÷(-3) 3 000 0000 即得与原方程组同解的方程组 x1=0 x2+2x3+=x4=0, 3
0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2 - - r r r 1 2 2 r - r - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组 + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x