第三节矩阵的秩
、矩阵秩的概念 任何矩阵An,总可经过有限次初等行变换 mxn 9 把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在mxn矩阵A中任取k行k列(k≤m k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式
. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m 一、矩阵秩的概念 矩阵的秩
m×n矩阵A的k阶子式共有Ck●C个 定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话全等 于0,那末D称为矩阵4的最高阶非零子式,数 称为矩阵A的秩,记作R(A4).并规定零矩阵的秩 等于零 m×n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于A,显有R(A4)=R(A)
. ( ) . 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定 义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶 子 A R A D A r D r A r + . ( ) 子式的最高阶数 m n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C
7123 例1求矩阵A=23-5的秩 471 解在A中, ≠0. 又∵A的3阶子式只有一个A,且A=0, R(4)=2
例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩 A = − 解 在 A中， 又 A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2 且 A = 0 ， R ( A ) = 2
103-2 例2求矩阵B= 200 31-25 的秩 004-3 00000 解:B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, B的所有4阶子式全为零 2-13 而03-2≠0,∴R(B)=3 004
例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩 − − − − B = 解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3− − 而 R(B) = 3