北方工业大学：《线性代数》PPT教学课件 第三章 矩阵的初等变换（3.2）初等矩阵

第二节初等矩阵

一、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列; {2.以数k≠0乘某行或某列; 3.以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l对调两行或两列 对调E中第i,两行,即Gr分r,得初等方阵 第i行 E(i,j k第j行

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵Em(,)左乘A=(n)m,得 11 n ←第i行 Em(i,J)A= ana12…an←第j行 m2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调(分

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地, 以n阶初等矩阵E(,右乘矩阵A, li AE,(i,j 21 J 2n 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i列与第j列对调(c;c;

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：