北方工业大学：《线性代数》PPT教学课件 第三章 矩阵的初等变换（3.4）线性方程组解的存在性

2x2+=x 由此即得 =2-3x,(x,x,可任意取值 令x3=1,x4=C2,把它写成通常的参数形式 5 2c,+ 5 3 29 2 x,=-2 2 29 +c 0 =

         = = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得      = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式. 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1                 + -             - =                c c x x x x

定理2n元非齐次线性方程组Ax=b有解 的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(Ab)的秩 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设R(4)<R(B 则硝行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1, 这与方程组有解相矛盾因此R(4)=R(B)

证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b =  = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)

例2求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵B进行初等变换, -23-1 r-2 1-23-11 B=3-15-3205-40-1 212-23 00002 显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解

例２ 求解非齐次线性方程组      + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换，           - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r - - 3 2 r - r           - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．

充分性.设R(4)=R(B 设R(4)=R(B)=r(≤n 则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行, 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n-个作为自由未知量, 并令n-r个自由未知量全取0, 即可得方程组的一个解 证毕

并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r  n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r