第四节向量空间
第四节 向 量 空 间
向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合,如果集合非空, 且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合V为向量空间 说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,∈R,则a∈V 2.n维向量的集合是一个向量空间,记作R M
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数 λ乘3维向量仍然是3维向量,它们都属于R3 类似地,n维向量的全体R",也是一个向量空
3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空
例2判别下列集合是否为向量空间. {x=(,x2,…,x,yx2 9 ∈R 解V是向量空间 因为对于v的任意两个元素 a=(0,a2,…,an),B=(0,b2,…,b,)∈V1, 有a+B=(0,a2+b2,,an+bn)y∈V aa=(0,an2,…,an)∈V1
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间. 2={=(,x2,…,x) 25 ∈R n 解V不是向量空间 因为若a=(1,a2,…,an)∈V2, 则2a=(2,2a2,…2an)gV2
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n