第三节相似矩阵
、相似矩阵与相似变换的概念 定义1设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P,使 P-AP= B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进 行运算P-1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =
二、相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 (1)反身性A与A本身相似 (2对称性若A与B相似,则B与A相似 (3)传递性若A与B相似,B与C相似, 则A与C相似 2. P-(AA)P=(P-1A PXP-1A2 P) 3若A与B相似则4m与B相似(m.正整数)
1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性
4. P-(K,A,+k2A)P=kP-A P+k2P-lA2 P 其中k1,k,是任意常数 定理1若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项 式相同从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →彐可逆阵P,使得PAP=B ∴B-AE=PAP-P(E)P =P(A-EP P-lA-hE Pl A-ZE
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
推论若n阶方阵A与对角阵 12 相似则λ1,2,,即是4的n个特征值
推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值