第节用配方法化二次型为标准型
、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变. 问题有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形? 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法
一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤 1.若二次型含有x的平方项,则先把含有 x的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项,但是a≠0 (≠j则先作可逆线性变换 Vi"y x=y+y;(k=1,2,…,n且k≠i,j 化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方
1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2, ,n且k i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij 0 (i j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方
例1化二次型 f=x+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3 为标准形,并求所用的变换矩阵 解 含有平方项<有x的项配方 ∫=区2x2+5x+2与千x+6x2 2 +2x1x7+2x1x2+2x2+5x2+6x,x =(x+x2+x)2去掉配方后多出来的项 x2-x3-2xx+2x2+5x3+6x2X
解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项
=(x+x2+x1)+x2+4x2+4x2x3 =(x+x2+x3)+(x2+2x) =x+x2+x1与=n2-2 x1=y1-y2+y3 令{y2=x2+2x y3 3 1-11 今|x 2 01-2 001 y3
( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令 = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y − − = 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x