第七节正定二次型
、惯性定理 一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的 秩 下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 二次型的标准形所具有的性质
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的 秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理(惯性定理)设有实二次型=x7Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x= Cl 及x=P 使f=ky+k2y2+…+ky2(k1≠0 及∫=1z2+12z2+…+,z(1≠0) 则k1;…,k,中正数的个数与九1,…,九,中正数的个数 相等
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
二、正(负)定二次型的概念 定义1设有实二次型∫(x)=x7Ax,如果对任何 x≠0,都有(x)>0显然f(0)=0则称正定二 次型,并称对称矩阵4是正定的如果对任何x≠0 都有f(x)<0,则称/为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的 例如∫=x2+4y2+16x2为正定二次型 f=-x2-3x2 为负定二次型
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如
、正(负)定二次型的判别 定理2实二次型f=xAx为正定的充分必要条 件是:它的标准形的n个系数全为正 证明设可逆变换x=O使 f(x)=f()=∑k 充分性 设k>0(=1,…,n)任给x≠0, y=Cx≠0 故f(x)=∑k1y2>0 i=1
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =