方阵的特征值与特征向
一、特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵如果数λ和n维非零列向量x 使关系式 Ax=x 成立,那末这样的数λ称为方阵A的特征值非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量 说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的 2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (A-E)x=0有非零解的值,即满足方程A-E =0的λ都是矩阵A的特征值
说明 1.特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x A A Ax x A n n x =
3.A-E=0 12 1 22 =0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为A的特征方程 记f(4)=A-AE,它是的n次多项式称其 为方阵A的特征多项式
3. A − E = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − n n nn n n a a a a a a a a a 称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式
4设m阶方阵A=(n)的特征值为气,, n,则有 (1)A1+2+…+n=a1+a2+…+amn; (2)元12…n=A
( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij = (1) ; 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12 n = A
求矩阵特征值与特征向量的步骤: 1.计算A的特征多项式de(-E 2.求特征方程det(4-E)=0的全部根λ1,2 ,就是A的全部特征值 3.对于特征值,求齐次方程组(4-2Ex=0 的非零解,就是对应于λ的特征向量
求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. 计算A的特征多项式det(A− E); ( ) , , ; 2. det 0 , , 1 2 就是 的全部特征值 求特征方程 的全部根 A A E n − = ( ) , . 3. , 0 的非零解 就是对应于 的特征向量 对于特征值 求齐次方程组 i i i A E x − =