第节实对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说 明,均指实对称矩阵 定理1对称矩阵的特征值为实数 定理1的意义 由于对称矩阵A的特征值x;为实数,所以齐次 线性方程组 (4-a;E)x=0 是实系数方程组由4-1E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设λ,2是对称矩阵4的两个特征值,D1, P2是对应的特征向量若λ1≠42,则1与2正交 证明λD1=4,2P2=A2,≠2, ∵A对称,A=A1, A1n1=(11)=(4)=n1A=n1A, 于是An1n2=n42=n1(λ2n2)=2n1n2, (1-x2)nn2=0 ≠2,∴n12=0.即n1与2正交
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
定理3设A为n阶对称矩阵A是4的特征方程的r 重根则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值九恰有r个线性无关的特征向量 定理4设4为n阶对称矩阵则必有正交矩陶P,使 PAP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设的互不相等的特征值为礼1,42,…, 它们的重数依次为,2,…,r(r+2+…+r,=n 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得:
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值(=12,…,s),恰有r个线性无 关的实特征向量,把它们正交化并单位化即得r个 单位正交的特征向量由+n2+…+r=m知, 这样的特征向量共可得n个 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 P= PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含r个A,…,个A,恰 是A的n个特征值
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则