中南大学：《应用统计》PPT电子教案_二元方差分析

元方差分析 在许多问题中往往不只考虑单个因子对试验指标的影 响而要同时考虑两个因子对试验指标的影响这时需要进 行二元方差分析二元方差分析分为有交互作用与无交互 作用两种情形 交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响. 例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互 搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下 A B Al(不施氮肥)A1(施50公斤氮肥) Al(不施氮肥) 300kg 450kg A(施50公斤氮肥)400 700kg 则(700-450)(400-300150kg为交互作用的影响

二元方差分析 在许多问题中,往往不只考虑单个因子对试验指标的影 响,而要同时考虑两个因子对试验指标的影响.这时需要进 行二元方差分析.二元方差分析分为有交互作用与无交互 作用两种情形. 交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响. 例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互 搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下 则(700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响. A B A1(不施氮肥) A1(施50公斤氮肥) A1(不施氮肥) 300kg 450kg A1(施50公斤氮肥) 400kg 700kg

1无交互作用的二元方差分析 设AB为两个因子,A取r个水平A1,A2,…,A;B取s个 水平B,B2…,B在AB条件下只做一次试验,记这 次试验的结果为X:i=1,2,…,r;j=1,2,…,s 试验结果可列成如下表 B BI B2 Bs A X11 X12 XIS A2 2 X2S Xrl Xr2 Xrs

1.无交互作用的二元方差分析 A,B A A , , A ; , , . i j B B B B A B X  1 2 r 1 2 s ij 设 为两个因子,A取r个水平 , 取s个 水平 , 在 条件下只做一次试验,记这 一次试验的结果为 .i=1,2, ,r;j=1,2, ,s 试验结果可列成如下表 A B B1 B2 …… Bs A1 X11 X12 …… X1S A2 X21 X22 …… X2S …… …… …… …… …… Ar Xr1 Xr2 …… Xrs

我们假定X~N(A22),如果因子B对试验指标没有 著影响,那么Xn,X2…,X的分布相同,即 OB 1 LS 如果因子A对试验指标没有显著影响,那少xN X的分布相同,即 0A·h1=2 ·鲁 如果记 元=∑1,1=2∑1,=∑∑A 注意到没有交互作用时应满足:对∨,有

2 1 2 ~ ( , ), , , , ij ij i i is X N B X X X 我们假定   如果因子 对试验指标没有 显著影响,那么 的分布相同,即 0 1 2 : H B i i is    = = = 1 2 , , , j j rj A X X X 如果因子 对试验指标没有显著影响,那么 的分布相同,即 0 1 2 : H A j j rj    = = = , ij i j i j        − = − 注意到没有交互作用时应满足:对 , 有 如果记 1 1 1 1 1 1 1 , , s r r s i ij j ij ij s r rs j i i j         = = = = = = =   

引进记号 ∑X,,=∑M,X=∑∑X S=∑∑(X1-x)S2>(X-x)=(x-X) SB=∑∑(X-X)2=r2(X-x)2 SE=∑∑(X-X-+x) 我们有 SST= SSE+ ssa+ ssB

引进记号: 1 1 1 1 1 1 1 , , s r r s i ij j ij ij j i i j X X X X X X s r rs   = = = = = = =    2 1 1 ( ) r s ij i j SST X X = = = −   SST SSE SSA SSB = + + 我们有 2 2 1 1 1 ( ) ( ) r s r i i i j i SSA X X s X X   = = = = − = −   2 1 1 ( ) r s ij i j i j SSE X X X X   = = = − − +   2 2 1 1 1 ( ) ( ) r s s j j i j i SSB X X r X X   = = = = − = −  

记X=1n+EnEn~N(O,a2) ∑n,,=∑,E=∑∑ 则X=2+E,R,=反+E,,X=+E SS4=∑(+E1-B)2 SB=r∑(1+81-B)2 ST=∑∑(+6-n SE=∑∑(+60-8一一E,+反+E i=1j=1 ∑∑(=n E I=I J

2 1 1 1 1 (0, 1 1 1 , , ij ij ij ij s r r s i ij j ij ij j i i j X N s r rs             = = = = = + = = =    记 ) X X X i i i j j j       则 , ,       = + = + = + 2 1 1 ( ) r s ij ij i j SST     = = = + − −   2 1 ( ) r i i i SSA s       = = + − −  2 1 1 ( ) r s ij ij i i j j i j SSE             = = = + − − − − + +   2 1 1 ( ) r s ij i j i j       = = = − − +   2 1 ( ) s j j j SSB r       = = + − − 