第五节二次型与线性变换
二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amnx2 +2a12x1x2+2a1 x2+…+2 13~13 n-1,n-n-1n 称为二次型 当a1是复数时,称为复二次型; 当a1是实数时,f称为实二次型 1/21
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 1/21
只含有平方项的二次型 2 f∫=k1ny+k2,y +…+kny 2 no n 称为二次型的标准形(或法式) 例如 f(x1,x2,x3)=2x2+4x2+5x3-4x1x3 ∫(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 都为二次型; f(x1,x2,x3)=x2+4x2+4x3 为二次型的标准形 2/21
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x 2/21
二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(x x2n=m1x+a,2x2+…+am +2a12x1x2+213x1x3+…+2an1mxn-1xn 取an=a,则2axx=axx+anxx,于是 f=auxf +aurxx2+.+aunX,x 2 +a212X1+a22x2+……+a2m2xn +…+ a..1+an2xnx2+…+anx2 ∑ax;x· i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法
2.用矩阵表示 f 2 ax +ax. 2 +……+a1ny1Xn a212X1+a22X2+…+a2m℃2 …+I x1十anny 2 2 n 2 十∴+a…X 1 =x1(1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a2x2+…+a2mxn) +…+xn(mnx1+an2x2+…+ and) 1x1+ 1x,+…+a 2 Inn 211 x十∷+a,X 22~2 2 n出n =(x1’x2,…xn anll 十anX 2 2 nn出n
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )