第二节向量组的线性相关性 w吧w吧w吧行吧吧好产
第二节 向量组的线性相关性
、线性相关性的概念 定义3给定向量组A:a1,a2,…,am,如果存在不 全为零的数k,k2,k使 1,2,,m ka1+k2a2+…+kmam=0 则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关 注意1.若a1,a2,,an线性无关,则只有当 1=…=n=0时,才有 a1+2a2+…+nan=0成立 2.对于任一向量组不是线性无关就是 线性相关
0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A 全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义３ 一、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
3向量组只包含一个向量a时,若a=0则说a 线性相关,若a≠0,则说c线性无关 4包含零向量的任何向量组是线性相关的 5对于含有两个向量的量量组它线性相关的 充要条件是两向量的量量对应成比例,几何意 是两向量共线
, 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说 = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. . 5. , 是两向量共线 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 对于含有两个向量的向量 组 它线性相关的
二、线性相关性的判定 定理向量组a1,202,…当m≥对)线性相关 的充分必要条件是a1,C2,…,Cn中至少有一个向 量可由其余m-1个向量线性表示 证明充分性 设1,2…,m中有一个向量(比如an) 能由其余向量线性表示.即有 an=11+2a2+…+xn1Cn
定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． m , , , 1 2 m 2 m , , , 1 2 m − 1 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. a a a m , , , 1 2 m a 即有 a m = 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 二、线性相关性的判定
故A1a1+42a2+…+an;an1+(-1)n=0 因礼1,2,…,n1,(-1)这m个数不全为0, 故C1,C2,…,C线性相关 必要性设a1,a2,…,Cn线性相关, 则有不全为0的数k1,k2,…,km,使 ka1+k2a2+…+knCn=0
故 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 + (− 1)a m = 0 因 1 ,2 , , m−1 ,(− 1) 这 m 个数不全为0， 故 m 线性相关. , , , 1 2 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 , ,km , 使 0. k11 + k2 2 ++ k m m =