三、 向量组的线性相关性 定义2.3.2给定向量组4：a1,a2,am,如果存在不 全为零的数k1,k2,km使 k1a1+k2a2+.+kmam=0 则称向量组4是线性相关的，否则称它线性无关 注意 1.若a1,a2,an线性无关，则只有当 1=.=2n=0时，才有 1a1+2a2+.+2nan=0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关
0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A 全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义2.3.2 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关． 三、 向量组的线性相关性
3.向量组只包含一个向量a时，若a=0则说a 线性相关，若a≠0，则说α线性无关. 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的， 部分组：从向量组x1,a2,.,am任取若干个 向量组成的新的向量组 5:向量组的一个部分组线性相关，那么向量组 是线性相关的
, 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说 = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. 部分组: 从向量组1 ,2 , , m 任取若干个 向量组成的新的向量组. 5: 向量组的一个部分组线性相关，那么向量组 是线性相关的
例3：已知向量组a1,2,.,4,线性无关，试证向量组 月=a,月2=a,+a,.,月=c+a++a线性无关 证：设kR+kB++k,月，=0，则 ka+k2(a+a2)++k,(a+a2+.+a,)=0, 或写成 (k+k2++k,)a1+(k2+.+k,)a2+.+k,a,=0, 由于，.，0，线性无关，故上式当且仅当 k1+k2+.+k,=0 显然k1=k2=.=k,=0 k2+.+k,=0 所以B,P2,.,B,线性无关 k,=0
例3: 已知向量组a1 , a2 , .,ar线性无关, 试证向量组 线性无关. 1 1 2 1 2 1 2 , , , r r = = + = + + + 证： 设 1 1 2 2 0, r r k k k + + + = 则 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0, r r k k k + + + + + + + = 或写成 ( 1 2 1 2 2 ) ( ) 0, r r r r k k k k k k + + + + + + + + = 由于 1 2 , , , , r 线性无关 ，故上式当且仅当 1 2 2 0 0 0 r r r k k k k k k + + + = + + = = 显然， 线性无关. 1 2 , , , r 所以 1 2 0 r k k k = = = =
例4：已知向量组a1,a2,a3线性无关，试证向量组 b1=u1+2,b2=2+a3,b3=3+a1线性无关. 证：设有x1,x2,x3,使 x1b1+x2b2+x3b3=0 即 x1(a1+2)+x2(a2+a3)+3(a3+L1)=O, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)42+(x2+x3)M3=0 因向量组a1,2,a3线性无关， 所以， x1+x3=0 101 1+x2=0 由于 110: =2≠0， x2+3=0 011 故方程组只有零解，即只有 X1=X2=x3=0 因此由定义得，向量组b,b2,b3线性无关， 王
+ = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 x x x x x x 证: 设有x1 , x2 , x3 , 使 x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O 即 x1 (a1+a2 )+ x2 (a2+a3 )+ x3 (a3+a1 )= O, 2 0, 0 1 1 1 1 0 1 0 1 由于 = 故方程组只有零解, 即只有 因此由定义得, 向量组b1 , b2 , b3线性无关. 1 2 3 x x x === 0 例4: 已知向量组a1 , a2 , a3线性无关, 试证向量组 b1=a1+a2 , b2=a2+a3 , b3=a3+a1线性无关. 因向量组a1, a2, a3线性无关, 所以, 亦即 + + + + + = 1 3 1 1 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 0 x x a x x a x x a