例2：证明向量a(0,4,2)是向量a(1,2,3)a(2,3,1) a(3,1,2)的线性组合，并将o用a1,a2,a3 线性表示 解： 先假设o=入1cx+入2a2十入3a3,即 (0,4,2)=入(1,23)+22(2,31)+23(31,2) 入十222+3λ-0 123 因此 2十3入2+几一4 由于 231=18≠0 32+几2十2入2 312 所以方程组有唯一解，可得入1，入21，入=一1， 于是 0=a1十a2-a3
例2: 证明向量 ＝(0，4，2) 是向量 (1 2 3) (2 3 1) 1 ＝ ，2 ＝ ， 3 ＝(3，1，2)， 的线性组合, 并将 1 2 3 用 , , 线性表示 解: 先假设 ＝1 1 ＋2 2 ＋3 3 ， 即 (0 4 2 1 2 3 + 2 3 1 + 3 1 2 ，)＝ 1 2 3 ( ，) ( ，) ( ，) 3 2 2 2 3 4 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 因此 由于 18 0 3 1 2 2 3 1 1 2 3 ＝ － 所以方程组有唯一解,可得 1 ＝1，2 ＝1，3 ＝ －1， 于是 ＝1 ＋2 －3
小结： a与a1,a2,anm的关系为以下三种情酸一： 1、a可由a1,a2,.,am线性表示，且表达式唯一， 2a可由a1,&2,an线性表示 但不唯一， 如0,0)=(1，-)+(1，）=01，-1)+0(-1,1) 3不能由a1,a2,am线性表示。 回
小结: , , , : 与1 2 m 的关系为以下三种情形之 一 1、 可 由1 , 2 , , m 线性表示， 且表达式唯一； 2、 可 由1 , 2 , , m 线性表示， 但不唯一， 如(0, 0) = (1, −1)+ (−1,1) = 0(1, −1)+ 0(−1,1) 3、 不能由1 ,2 , , m 线性表示
二、元线性方程组、矩阵、向量组的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组 成的集合叫做向量组. 例如：矩阵A=(amxm有n个m维列向量： 11 L12 A- 22 21 m2 mn 向量组41,42，am称为矩阵A的列向量组
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量: = a a a a a a a a a a a a m m mj mn j n j n A 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 a1 a2 a j an 向量组a1 , a2 ,···, an称为矩阵A的列向量组. 二、 n元线性方程组、 矩 阵、 向量组的关系
类似地，矩阵A-(amxm有个n维行向量： 402122 a2n a A= ai ai2 aml am2 amn 向量组a,a必，.，am称为矩阵A的行向量组， 回
= a a a a a a a a a a a a m m mn i i in n n A 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 1 向量组1 ’ , 2 ’ ,···, m ’称为矩阵A的行向量组. 类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量: 2 i m
线性方程组的向量表示 L12 L211 22 因此线性方程组可写为 a1x1+a2X2+.+CnXn=B 于是方程组有没有解的问题转化为向量B能否由 向量组a1,2,.,Cn线性表示
线性方程组的向量表示 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 n n x x x + + + = 1 2 n 因此线性方程组可写为 方程组有没有解的问题转化为向量 能否由 向量组 线性表示. 1 2 , , , n 于是