但并不是任何情形下欧拉方程都可求出有 限解来，常见可以求解的特殊情形如下： 情形A■ 若函数F中不含x和y,则欧拉 方程变为 Fy)"=0 而若F,y≠0，则有y"=0,于是 y=Cx+C2,即极值曲线均为直线。 数学建模
但并不是任何情形下欧拉方程都可求出有 限解来，常见可以求解的特殊情形如下： 情形 A 若函数 F 中不含x 和 y ，则欧拉 方程变为 '' 0 Fy ' y ' y = 而 若 0 Fy ' y ' ， 则 有 y''= 0 ，于是 1 2 y = c x + c ，即极值曲线均为直线
情形B若函数F中不含y,则欧拉方程变为 岳F,=0 积分便可得出表示极值曲线的一阶微分方程： F,(x,y)=C,其解法有两种： (1)解出y=f(x,c),再积分之即可得极值曲线 y=y(x,C1,C2)。 (2)用适当方式引入参数求解，可得极值曲线的参 数形式x=x(t),y=y(t)。 数学建棋
情形 B 若函数 F 中不含 y ，则欧拉方程变为 y' = 0 dx d F 积分便可得出 表示极值 曲线的一 阶微分方 程： ' 1 Fy (x, y') = C ，其解法有两种： （1） 解 出 ' ( , ) 1 y = f x c ，再积分之即可得极值曲线 ( , , ) C1 C2 y = y x 。 （2） 用适当方式引入参数求解，可得极值曲线的参 数形式 x = x(t) ， y = y(t)
情形C若函数F中不含x,则由欧拉方程(2)式 (F-F,)=-y[层F-F]=0, 有F-yF,=C为一阶微分方程。如情形B的两种 解法即可得到极值曲线。 数学建模 00
情形 C 若函数 F 中不含 x ，则由欧拉方程(2)式及 ( − ' ') = − ' y' − y = 0 dx d dx y d F F y y F F ， 有 ' 1 F − y'Fy = C 为一阶微分方程。如情形 B 的两种 解法即可得到极值曲线
泛函极值的必要条件可以推广至含有多个未知函数的情况， 般形式的泛函为 V0y。,y)=F(x,,n,,y')k (3 边界条件为 y(x)=y1, y,(x2)=y,2 (i=1,2,…,n) (3)取得极值的必要条件是极值曲线应满足欧拉方程组 F,-&F,=0 (i=1,2,…,n） 微分方程组(4)的解y,…,y,在x,乃，…，yn空间中确定一族含有 2个参数的积分曲线，它就是这个泛函极值问题的极值曲线族。 款学建模
泛函极值的必要条件可以推广至含有多个未知函数的情况，其一 般形式的泛函为 = 2 1 ( , , ) ( , , , , ', , ') 1 1 1 x x V y yn F x y yn y yn dx （3） 边界条件为 1 1 ( ) i i y x = y ， 2 2 ( ) i i y x = y （i = 1,2,,n ） (3)取得极值的必要条件是极值曲线应满足欧拉方程组 0 − ' = i i dx y d Fy F （i =1,2,,n ） (4) 微分方程组(4)的 解 n y , , y 1 在 n x, y , , y 1 空间中确定一族含有 2n 个参数的积分曲线，它就是这个泛函极值问题的极值曲线族
条件极值哈密尔顿(Hamilton)函数 对于带有约束等式的泛函极值问题，可采用拉格朗日 乘子法化条件极值为无条件极值问题。 (1)求泛函 ,y)=∫F(x,…,ynh,…y)k (5) 在条件 0,(x,h,…,yn)=0(i=1,2,,m,m<n) (6) 下的极值。 数学建模
条件极值 哈密尔顿（Hamilton）函数 对于带有约束等式的泛函极值问题，可采用拉格朗日 乘子法化条件极值为无条件极值问题。 （1）求泛函 v y y F x y y y y dx n x x n n ( , ) ( , , , , , ) ' ' 1 1 1 1 0 = (5) 在条件 i (x, y1 ,, yn ) = 0 （i = 1,2,,m;m n ） (6) 下的极值