长治学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）04 矩阵

X, =ay +ai2y2 +ay3,X2=a2iyi+a22yz+a23y3,(1)X,=aiyi+a2y2 +ay3,xy=a4iy+a42y2+a433又如z,=,是第三组变量，它们与yi,y2,y的关系为[yi = bl121 +b1222 ,(2)y2=b212f +b222,[y3 = b3121 +b3232.由(1)与(2)不难看出x1,x2,x3,x4与z1,z,的关系：3=x=a(b=)=abp-k=lj=lk=l j=l(3)2aub==2(ab),(i=1,2,3,4)台台如果我们用(4)(i=1,2,3,4)c"jx=j=l来表示x,x2,x3,x4与z1,=,的关系，比较(3),(4)，就有NZaxbu(i=1,2,3,4;j=1,2)(5)Cu=k=l用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵A=(ak)43, B=(b,)2分别表示变量x1,x2,x3,x4与yy2,y以及y,2,y与z,,之间的关系，那么表示x,x2,x3,x与z,z之间的关系的矩阵C =(c,)42就由公式（5)决定.矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB一般地，我们有：定义2设

       = + + = + + = + + = + + . , , , 4 41 1 42 2 43 3 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y (1) 又如 1 2 z ,z 是第三组变量，它们与 1 2 3 y , y , y 的关系为      = + = + = + . , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 y b z b z y b z b z y b z b z (2) 由(1)与(2)不难看出 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系： ( ) ( 1,2,3,4) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 = = = = = =        = = = = = = = = = a b z a b z i x a y a b z a b z j j k j k i k kj j i k kj k j i k kj j k j i k kj j k i i k k . (3) 如果我们用 ( 1,2,3,4) 2 1 =  = = x c z i j i ij j (4) 来表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系，比较(3),(4)，就有 ( 1,2,3,4; 1, 2) 3 1 =  = = = c a b i j k ij ik kj (5) 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵 ( ) ( ) 43 32 , A = aik B = bkj 分别表示变量 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 3 y , y , y 以及 1 2 3 y , y , y 与 1 2 z ,z 之间的关系，那 么表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 之间的关系的矩阵 ( ) 42 ij C = c 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB 一般地，我们有： 定义 2 设

A=(ax)m, B=(b,)m那么矩阵C=(c,)m其中C,=ab,+ ,ba, aub-Zaubyk=l(6)称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第i列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1设034021-112130A:,B:-1131-1045-1-121那么03X1026-57-12103AB=102-1-631405-1171022例2如果A=(a,)m是一线性方程组的系数矩阵，而

( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b , 那么矩阵 ( ) ij sm C = c , 其中 = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai kbkj c 1 1 1 2 2  , (6) 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元 素等于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积 的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的 列数相等. 例 1 设               − − =           − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 , 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A B , 那么           − − − =               − −           − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 AB 例 2 如果 ( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而

b,xib2xX =R...(b,)xn分别是未知量和常数项所成的nx1和sx1矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式AX =B.例3在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系(x,J1,=)到(x2,y2,=2)的坐标变换的矩阵为(aai2ai3A=a21a22Q23(a3)a32a33如果令(x2(X)X =X2y2yi(-2）21)那么坐标变换的公式可以写成X =AX,.如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系(x2,y2,z2)到第三个坐标系(x3,Js,=,)的坐标变换公式为X, = BX3,其中(bbi2br3)X3b22B=b21b23X, =Y3(b3b33)b32(-3)那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为C=AB矩阵的乘法适合结合律设

              =               = n bs b b B x x x X   2 1 2 1 , 分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写 成矩阵的等式 AX = B . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( , , ) 1 1 1 x y z 到 ( , , ) 2 2 2 x y z 的坐标变换的矩阵为           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A 如果令           =           = 2 2 2 2 1 1 1 1 , z y x X z y x X , 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 . 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 ( , , ) 2 2 2 x y z 到第三个坐标系 ( , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 X2 = BX3 , 其中           =           = 3 3 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 , z y x X b b b b b b b b b B . 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB. 矩阵的乘法适合结合律.设

A=(ay)m, B=(bk)m,C=(cu) m则(AB)C = A(BC)但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来AB+BA例如，设4-(1 -) -( )4B-(1 -1 )-(8 8)而μ-(1 1-)-(2 2)由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当AB=AC时，不一定有B=C定义3主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nxn矩阵(10..0)01..01:00..1称为n级单位矩阵，记为E，，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有AsnE,= Asn,E,As,=Asm矩阵的乘法和加法还适合分配律，即A(B+C) = AB+ AC(9)

( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则 (AB)C = A(BC). 但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 AB  BA. 例如，设         − − =         − − = 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B         =        − −         − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB , 而         − − =        − −         − − = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 BA . 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩 阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一 定有 B = C. 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵               0 0 1 0 1 0 1 0 0       称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然 有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 A(B + C) = AB + AC (9)

(10)(B +C)A = BA + BC应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一nxn矩阵，定义[A' =A,LAk+I=A*A换句话说，A*就是k个A连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明A'A' = A**,(A)=A.这里k,1是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以（AB)*与A*Bk般不相等3.数量乘法定义4矩阵(kaka2..kamkaaka2..kazn…目ka,ka,2...kasm称为矩阵A=(）与数k的数量乘积，记为kA.换句话说，用数k乘矩阵就n是把矩阵的每个元素都乘上k.数量乘积适合以下的规律：(11)(k+I)A=kA=IA(12)k(A+ B)= kA+ kB(13)k(IA)=(k)A1A= A(14)(15)k(AB)=(kA)B= A(kB)矩阵

(B + C)A = BA + BC (10) 应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A 是一 nn 矩阵，定义     = = + . , 1 1 A A A A A k k 换句话说， k A 就是 k 个 A 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由 乘法的结合律，不难证明 k l k l A A A + = , k l kl (A ) = A . 这里 k,l 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以 k (AB) 与 k k A B 一 般不相等. 3. 数量乘法 . 定义 4 矩阵               s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn A = aij 与数 k 的数量乘积，记为 kA.换句话说，用数 k 乘矩阵就 是把矩阵的每个元素都乘上 k . 数量乘积适合以下的规律： (k + l)A = kA = lA (11) k(A + B) = kA+ kB (12) k(lA) = (kl)A (13) 1A = A (14) k(AB) = (kA)B = A(kB) (15) 矩阵