内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式g12.2广义Fourier级数内积12.2.1定义1设%是R上的线性空间.从%×%到R的映射(α,y)E× →(α,y) ER称为 上的一个内积,若对于任意 ,y,zE ,α,βR,有正性1°<α,α)≥0,且(,)=0当且仅当=0.对称性2°(c,y) =(y,α)双线性30 (αa +βy,z) =α(a, z) +β(y,z)一个定义了内积的线性空间称为内积空间返回全屏关闭退出I1/18
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª §12.2 2 Fourier ?ê 12.2.1 SÈ ½Â 1 X ´ R þ5m, l X × X R N: (x, y) ∈ X × X → hx, yi ∈ R ¡ X þSÈ, eéu?¿ x, y, z ∈ X , α, β ∈ R, k 1 ◦ hx, xi > 0, hx, xi = 0 = x = 0. 5 2 ◦ hx, yi = hy, xi é¡5 3 ◦ hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi V5 ½Â SÈ5m¡SÈm. 1/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
内积勾股定理标准正交化完全性勒让德多项式Schwarts不等式广义Fourier级数在内积空间中可以定义范数和距离设 %是R上的内积空间.对于c E%,令Ilall = V(a,a).则 Ill是 % 上的一个范数. 对于 c,y E %,令d(c,y) = l - yll;则 d(α,y)是 %上的一个距离. 设和 n 是 中的点,若lim d(αn, ) = 0,n则称【an）收敛于a.若按照这样的收敛，空间%是完备的（即，%中的基本列收敛到中的元素)，则称%是希尔伯特(Hilbert)空间设c,yE%.若(α, y) = 0,则称为与y正交，记为a ly.II返回全屏关闭退出2/18
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª 3SÈm¥±½ÂêÚål. X ´ R þSÈm. éu x ∈ X , - kxk = p hx, xi. K kxk ´ X þê. éu x, y ∈ X , - d(x, y) = kx − yk, K d(x, y) ´ X þål. x Ú xn ´ X ¥:, e lim n→∞ d(xn, x) = 0, K¡ {xn} Âñu x. eUìùÂñ, m X ´ (=, X ¥Ä Âñ X ¥), K¡ X ´ FËA(Hilbert)m. x, y ∈ X . e hx, yi = 0, K¡ x y , P x ⊥ y. 2/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式引理1（Schwarts不等式）设a，y是内积空间%中的元素.则有Ka,y)/< lαllyll等式成立当且仅当&,y线性相关证明不妨设&，y都非零.对任意实数t有0≤ llta - yl2 = (ta - y,ta - y)= t2llαl12 - 2t(αc,y) + Ilyll2因此这个关于变量t的一元二次式的判别式为非正，即4(c, y)2 - 4α2llyll2 ≤ 0,因而, y)/≤ αl /yll等式成立仅当存在实数t使得tc一y=o,即,α,y线性相关返回全屏关闭退出II3/18
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª Ún 1 (Schwarts Ø ª) x, y ´SÈm X ¥. Kk |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á = x, y 5'. y² Ø x, y Ñ". é?¿¢ê t k 0 6 ktx − yk 2 = htx − y, tx − yi = t 2kxk 2 − 2thx, yi + kyk 2 , Ïdù'uCþ t gªOª, =, 4hx, yi 2 − 4kxk 2kyk 2 6 0, Ï |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á=3¢ê t ¦ tx − y = 0, =, x, y 5'. 3/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
内积勾股定理完全性勒让德多项式Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数设 M 是 %中的子集,若对任意 ,y E M,有0.cty(α, y)a=y,则称M是的一个规范正交集.中的一列元素[anl是规范正交集时就称为规范正交系引理2规范正交集是线性无关的证明设[e1,e2,.·,en}是规范正交的,且aiei + a2e2 +:..+ anen = 0.则ak = (akek, ek) =(aiei + .. + anen,ek) = (0,ek) = 0.这就说明［e1,e2，·，en］是线性无关的返回全屏关闭退出14/18
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2Â Fourier ?ê 5 V4õª M ´ X ¥f8, eé?¿ x, y ∈ M, k hx, yi = 0, x 6= y 1, x = y, K¡ M ´ X 58. X ¥ {xn} ´58, Ò¡5X. Ún 2 58´5Ã'. y² {e1, e2, · · · , en} ´5, a1e1 + a2e2 + · · · + anen = 0. K ak = hakek, eki = ha1e1 + · · · + anen, eki = h0, eki = 0. ùÒ`² {e1, e2, · · · , en} ´5Ã'. 4/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式引理3（勾股定理）设&,y是%中的元素且&工y.则有α +yl12= 112+ 1y12更一般地,设a1,α2,··,n是%中互相正交的元素,则有Ilai +C2 +..+ anll2= Iail2 + Ila2ll2 +..·+ Ilanll2.证明事实上,若i≠k,则有《acj,ak）=0,因而1'=(a,Zar)=(jk)j=1k=1j=1 k=1j=1=(aj,aj)j=1n=le;lj=1返回全屏关闭退出15/18
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª Ún 3 (½n) x, y ´ X ¥ x ⊥ y. Kk kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 . /, x1, x2, · · · , xn ´ X ¥p, Kk kx1 + x2 + · · · + xnk 2 = kx1k 2 + kx2k 2 + · · · + kxnk 2 . y² ¯¢þ, e j 6= k, Kk hxj, xki = 0, Ï X n j=1 xj 2 = DX n j=1 xj, X n k=1 xk E = X n j=1 X n k=1 hxj, xki = X n j=1 hxj, xji = X n j=1 kxjk 2 5/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ