卷积应用收敛定理Parseval等式Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质g12.4Fourier积分和Fourier变换12.4.1 Fourier积分回顾Fourier级数：设f(αc在[一π,元]上可积或绝对可积,则 f(α)的 Fourier 级数为8aoZ(an cos nc + bn sin na),2n=1其中f(α)cos na da, bn =f(α) sin na dc.元对于 f(ac)的 Fourier 级数,有 Dirichlet 收敛性定理一般地8aoZf(α) ~(an cos nc + bn sin n)+2n=1返回全屏关闭退出II1/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ §12.4 Fourier È©ÚFourier C 12.4.1 Fourier È© £ Fourier ?ê: f(x) 3 [−π, π] þȽýéÈ, K f(x) Fourier ?ê a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx + bn sin nx , Ù¥ an = 1 π Z π −π f(x) cos nx dx, bn = 1 π Z π −π f(x) sin nx dx. éu f(x) Fourier ?ê, k Dirichlet Âñ5½n. /, f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx + bn sin nx . 1/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质当 f(α)是（一o0,+αo)上绝对可积函数时,如果只考虑 f(α)在[一π,π]这一段的值，再用Fourier级数的方法来讨论.就不合适了.为了整体地研究f(α)在（一oo,+oo）上的性质.仿照Fourier级数的做法,令Ta() = -(1)f(t) cos 入t dt, b() =f(t) sin At dt,元元CX称为f(α)的 Fourier 积分的系数,而积分(a() cos 入a + b() sin Aα) d)称为f(a)的 Fourier积分，记为(2)f(α) ~(a() cos Aa + b() sin Aα) d>.问题1上式右端中的Fourier积分何时收敛？收敛时是否收敛到f(αc)?返回全屏关闭退出I4-2/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, XJÄ f(x) 3 [−π, π] ùã, 2^ Fourier ?ê{5?Ø, ÒØÜ· . N/ïÄ f(x) 3 (−∞, +∞) þ5. ì Fourier ?ê{, - a(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) cos λt dt, b(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) sin λt dt, (1) ¡ f(x) Fourier È©Xê, È© Z +∞ 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ ¡ f(x) Fourier È©, P f(x) ∼ Z +∞ 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ. (2) ¯K 1 þªmॠFourier È©ÛÂñ? Âñ´ÄÂñ f(x)? 2/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质引理1若f(α）是（一80,+8）上绝对可积函数,则foa() = f(α) cos ^ da, b(a) =f(α) sin Aa dc,元元在（-,+o)上一致连续,且当 ^→+ 时,a(),b()都趋于零证明因为 f(α)是（一oo,+oo）上绝对可积函数,所以对任意 ε0,存在A>0 使得DFxTEIf(α)/ da +If(αc)/ dc <4A8记+8M =If(αc)I da.因为cos在(一0,+)上一致连续,所以存在1>0使得当|α1一a2l<1时, 有 /cos aC1 一 cos a2l < ,因而取 = %. 则当 I1 - 入2l < 8 时, 有TE([αl ≤ A).[cos α - cos >2α2MII-返回全屏关闭退出3/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ Ún 1 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, K a(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(x) cos λx dx, b(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(x) sin λx dx, 3 (−∞, +∞) þëY, λ → +∞ , a(λ), b(λ) Ѫu". y² Ï f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, ¤±é?¿ ε > 0, 3 A > 0 ¦ Z +∞ A |f(x)| dx + Z −A −∞ |f(x)| dx < πε 4 . P M = Z +∞ −∞ |f(x)| dx. Ï cos x 3 (−∞, +∞) þëY, ¤±3 δ1 > 0 ¦ |x1−x2| < δ1 , k | cos x1 − cos x2| < πε 2M , Ï δ = δ1 A . K |λ1 − λ2| < δ , k | cos λ1x − cos λ2x| < πε 2M , (|x| 6 A). 3/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质于是f1[a(入1) - a(\2)lf(α)//cos Aa-cos 入2a| da元X+α1f(α) / cos 1a — cos >2αda元AA1If(α) / cos 入ia - cos 入2a| dac十TXA1[f(α) / cos ^1a cos >2α| dacX元+87221TEIf(α)I dac +If(α)ldaIf(α) da +2M元元元JAAX8-2E≤+-E.12这就证明了 a(V)在(一0,+α)上一致连续. 同理,可证b(>) 也在(一α0,+α0)上一致连续根据 Riemann-Lebesgue 引理可知,当 入→ +oo 时,a(),b(\)都趋于零返回全屏关闭退出I4/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ u´ |a(λ1) − a(λ2)| 6 1 π Z +∞ −∞ |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx = 1 π Z +∞ A |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx + 1 π Z −A −∞ |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx + 1 π Z A −A |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx 6 2 π Z +∞ A |f(x) dx + 2 π Z −A −∞ |f(x)| dx + 1 π Z A −A |f(x)| πε 2M dx 6 ε 2 + ε 2 = ε. ùÒy² a(λ) 3 (−∞, +∞) þëY. Ón, y b(λ) 3 (−∞, +∞) þëY. â Riemann-Lebesgue Ún, λ → +∞ , a(λ), b(λ) Ѫu". 4/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式引理2若f(α)是（一8,+）上绝对可积函数,则.f(t) cos 入(t - a)dt ) d> :f(t) cos 入(t - α)d入证明月只需证明右端的广义积分收敛到左端的积分.因为f(t) cos 入(t - c)d>) dt f(t) cos ^(t - α)dtf(t) cos 入(t - a)dt ) d入 -f(t) cos ^(t - α)dt ) d)Afdf(t) cos ^(t 一 a)dt+If(t)[dt )d=uf(t)/dt+-→0 (A →+8),所以引理得证关闭退出返回全屏5/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ Ún 2 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, K Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = Z +∞ −∞ Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt. y² Iy²mà2ÂÈ©ÂñàÈ©. Ï Z A −A Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt − Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = Z u 0 Z A −A f(t) cos λ(t − x)dt dλ − Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = Z u 0 Z +∞ A + Z −A −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ 6 Z u 0 Z +∞ A + Z −A −∞ |f(t)|dt dλ = u Z +∞ A + Z −A −∞ |f(t)|dt → 0 (A → +∞), ¤±Úny. 5/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ