逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1g12.3Fourier级数的均值收敛性8Z定义1设Sn是无穷级数an，的部分和,即Sn=ai+a2+..·+an.令n=1Si+S2+.+Sn(12.1)an=n8>若limn=α是有限的,则称级数an 在均值意义下（或在 Cesaro 意n-n=18义下）收敛到g.记为an=α(C). (α称为级数的均值)n=187显然，若收敛到.则它在均值意义下也收敛到s.反之不一定对an n=18例如,(-1)n-(C).但此级数通常意义下并不收敛2n=1返回全屏关闭退出II1/16
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n §12.3 Fourier ?êþÂñ5 ½Â 1 Sn ´Ã¡?ê X ∞ n=1 an, Ü©Ú, = Sn = a1 + a2 + · · · + an. - σn = S1 + S2 + · · · + Sn n . (12.1) e lim n→∞ σn = σ ´k, K¡?ê X ∞ n=1 an 3þ¿Âe (½3 Ces`aro ¿ Âe) Âñ σ. P X ∞ n=1 an = σ (C). (σ ¡?êþ). w, e X ∞ n=1 an Âñ s, K§3þ¿ÂeÂñ s. ؽé. ~X, X ∞ n=1 (−1)n−1 = 1 2 (C). d?êÏ~¿Âe¿ØÂñ. 1/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1现设f(α）是「一π，元l上可积或绝对可积函数.an，bn是其Fourier系数即8ao(an cos nc + bn sin nc)f(α)2n=1则将Fourier系数的定义表达式代入Fourier级数的部分和，可得naoZTn(c)1ak cos kc + bk sin kc2k=11sin(n +)t7(f(α + t) + f(a - t)dt2元sin记 To(α) =号,因而n-11ZTk(c)Jn()=nk=0sin(k111(f(α + t) + f(α - t)2dt.sin t2n元2k=0II4-I返回全屏关闭退出2/16
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n y f(x) ´ [−π, π] þȽýéȼê. an, bn ´Ù Fourier Xê, = f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx + bn sin nx . Kò Fourier Xê½ÂLª\ Fourier ?êÜ©Ú, Tn(x) = a0 2 + X n k=1 ak cos kx + bk sin kx = 1 2π Z π 0 f(x + t) + f(x − t) sin(n + 1 2 )t sin t 2 dt P T0(x) = a0 2 , Ï σn(x) = 1 n X n−1 k=0 Tk(x) = 1 2nπ Z π 0 f(x + t) + f(x − t) X n−1 k=0 sin(k + 1 2 )t sin t 2 dt. 2/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理因为n-1sin? nt12Z(12.2)sin (k +tt2sin2k=0所以2ntsin2f(α+t)+ f(α -t)dt.(12.3)On(α) =t-22m元sin特别,令 f =1,则Tn=1,所以αn(α)=1,由上式,得2sinnt)12dt.(12.4)tsin元02由此，并按照Dirichlet收敛性定理的类似证明方法，可以证明下面的Fejér收敛定理返回全屏关闭退出II3/16
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n Ï X n−1 k=0 sin (k + 1 2 )t = sin2 nt 2 sin t 2 , (12.2) ¤± σn(x) = 1 2nπ Z π 0 f(x + t) + f(x − t) sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.3) AO, - f = 1, K Tn = 1, ¤± σn(x) = 1, dþª, 1 = 1 nπ Z π 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.4) dd, ¿Uì Dirichlet Âñ5½naqy²{, ±y²e¡ Fej´er  ñ½n. 3/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1定理1（可积函数Fejér定理）设函数f(α）以2元为周期,在「一元，元l上可积或绝对可积.若 f(α)在 αo处有左极限f(co－0)和右极限 f(αo +0),则在 ao 处 f(a) 的 Fourier 级数在均值意义下收敛于 f(co+0)+f(co-0),2证明 记 s = f(co+0)+f(co-0)2p(t) = f(co +t) + f(co - t) - 2s.根据（12.3)，（12.4）得1sindt(co + t) + f(co - t) - 2sn(co) - s+2n元sin1sindt(12.5)(t)+2m元sin0因为 f 在 o 的左极限和右极限都存在,故,对任意正数 ε,存在 E(O, π)使返回全屏关闭退出14/16
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ½n 1 (ȼê Fej´er ½n) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 3 [−π, π] þ ȽýéÈ. e f(x) 3 x0 ?k4 f(x0 − 0) Úm4 f(x0 + 0), K 3 x0 ? f(x) Fourier ?ê3þ¿ÂeÂñu f(x0+0)+f(x0−0) 2 . y² P s = f(x0+0)+f(x0−0) 2 , ϕ(t) = f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s. â (12.3), (12.4) σn(x0) − s = 1 2nπ Z π 0 f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s sin nt 2 sin t 2 2 dt = 1 2nπ Z π 0 ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt (12.5) Ï f 3 x0 4Úm4Ñ3, , é?¿ê ε, 3 δ ∈ (0, π) ¦ 4/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理得-(o<tf(aco + t) - f(co + 0)l <<0)20lf(co - t) - f(co - 0)/ <(0<t<0).2因此Ip(t)l <e, (0 < t <d).现在把（12.5）中的积分分成两部分，有22ro(sinnt)nt1sin122dtp(t)dt +p(t)dn(Co)-s=sin七2nsin2n元Jo12= Ii + I2下面分别对I1,I2估计返回全屏关闭退出145/16
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n |f(x0 + t) − f(x0 + 0)| < ε 2 , (0 < t < δ) |f(x0 − t) − f(x0 − 0)| < ε 2 , (0 < t < δ). Ïd |ϕ(t)| < ε, (0 < t < δ). y3r (12.5) ¥È©©¤üÜ©, k σn(x0) − s = 1 2nπ Z δ 0 ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt + 1 2nπ Z π δ ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt = I1 + I2 e¡©Oé I1, I2 O. 5/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ