沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.1 导数的概念

若运动是非匀速的，△t 越小，它越近似得表明t时刻运动的快慢．因此，人们取t时刻的速度为Ass(to+t)-s(to)v(to)=limlimAt-0AtAtAt-0

它越近似得 速度为 v(t0 )  , ( ) ( ) lim 0 0 0 t s t t s t t        若运动是非匀速的, t 越小, 表明 t0时刻运动的快慢. 因此, 人们取 t0时刻的 t s   0 lim t

原型2求曲线的切线若已知平面曲线 =f(x),如何作过曲线上点M,(x,f(x)的切线呢。yAM曲线C在点M,处的切线为点M沿着曲线C趋近于点MM.时割线MM,的极限位置。olx

求曲线的切线 若已知平面曲线 y  f (x), ( , ( )) 0 0 x0 M x f 如何作过 曲线上点 的切线呢. 原型2 y x o C M M0 0 0 0 . C M M C M MM 曲线 在点 处的 切线为点 沿着 曲线 趋近于点 时割线 的极限 位置

设 M(xo,Jo),N(x,y).割线MM,的斜率为tanp = μ-o= f(x)- f(x)x-xox-xo沿曲线CM->Mo,yty=f(x)Mx→Xo'T切线MM.的斜率为Mk=tanαCα@1f(x)-f(xo)=lim:可Xoxxx-→xox-Xo

( , ), 0 0 设 M x y 0 0 tan x x y y     , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x    M k  tan 0 0 ( ) ( ) x x f x f x    N(x, y). 割线MM0的斜率为 , 0 x  x 切线MM0的斜率为 沿曲线C 0 M , 0 x x   T x y O y  f ( x) C M  M0 0 lim xx

增量比的极限Ayf(x。+△x)-f(xo)limlimk=tan=Ar-→0AxAr->0AxASf(to +△t)- f(to)= limlimVo =△tAf-0△t-→0At两个问题的共同之处在于：所要解决的数学问题相同：变化率问题：数学结构相同：增量比的极限

0 0 tan lim lim x x y k x           0 0 f (x  x)  f (x ) x 所要解决的数学问题相同：变化率问题； 两个问题的共同之处在于: 数学结构相同：增量比的极限. 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim . t t s f t t f t v t t             增量比的极限

二、导数的定义定义 设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义,当自变量从x,变到x,+△x 时,函数= f(x)的增量Ay= f(x+Ax)-f(x)与自变量的增量x之比Ay - f(xo +△r)- f(x)AxAr称为f(x)的平均变化率

二、导数的定义 定义 设函数 y  f (x)在点x0的某个邻域内 x f x x f x x y        ( ) ( ) 0 0 称为f (x)的 , 当自变量从 x0 变到 x0  x 时 ( ) ( ) ( ) 0 x0 y  f x 的增量y  f x  x  f 函数 变量的增量x之比 与自 平均变化率. 有定义