《抽象代数》教案第2章同态与同构课时2学时授课题目2.4同态教学内容同态映射、同态满射的概念与性质【知识目标】1.会叙述同态的概念及性质；2.会用定义证明两个代数系统同态：3.会用定义证明两个代数系统同态的性质教学目标【能力目标】4.能够运用同态及同态的性质解决问题；5.运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题【素质目标】6.理解特殊与一般的辩证关系【教学重点】同态的概念及性质.重点与难点【教学难点】理解同态的本质，【教学方法】讲授法、启发式教学法、课前预习法方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段【学习内容】同态映射保持运算的性质，课前自主学习【学习检测】课前在雨课堂发布课堂教学过程教学活动设计例设A=Z，。为普通加法；A=(1,-1)，为普通乘法.师生互动【师】课前预习内(1) Φ :aHI,VaeA;容.（2）Φ,:aHl，若a是偶数；【生】学生将结果新课发布到投稿箱.a-1，若a是奇数；导入【设计意图】学生(3) Φ,:aH-1,VaeA通过对具体实例验证，总结规律，问Φ，Φ，，Φ，是否是A到A的同态映射？若是，是同态单引入新课射？同态满射？（约10分钟）数学与系统科学学院- 20 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 20 - 授课题目 2.4 同态 课时 2 学时 教学内容 同态映射、同态满射的概念与性质 教学目标 【知识目标】 1. 会叙述同态的概念及性质； 2. 会用定义证明两个代数系统同态； 3. 会用定义证明两个代数系统同态的性质. 【能力目标】 4. 能够运用同态及同态的性质解决问题； 5. 运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题. 【素质目标】 6. 理解特殊与一般的辩证关系. 重点与难点 【教学重点】 同态的概念及性质. 【教学难点】 理解同态的本质. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、课前预习法. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课前自主学习 【学习内容】 同态映射保持运算的性质. 【学习检测】 课前在雨课堂发布. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 例 设 A Z ， 为普通加法； A 1,1， 为普通乘法. （1） 1 : a 1,a A ； （2） 2 : a 1，若 a 是偶数； a 1，若 a 是奇数； （3） 3 : a 1,a A . 问 1 2 3 , , 是否是 A 到 A 的同态映射？若是，是同态单 射？同态满射？（约 10 分钟） 师生互动 【师】课前预习内 容. 【生】学生将结果 发布到投稿箱. 【设计意图】学生 通过对具体实例 验证，总结规律， 引入新课
《抽象代数》教案第2章同态与同构1.同态映射（约20分钟）定义一个A到A的映射β叫做一个对于代数运算。和。来说的，A到A的同态映射.假如，在β之下，不管α和b是A的那两个元，只要a→a,b→b就有aob→ab雨课堂一弹幕例1Φ,:α→1(α是A的任一元)是一个A到A的同态映【师】引导学生分析题目。射，Φ,是一个A到A的映射，显然对于的任意两个整数α和b来【生】弹幕发布答说，有案【设计意图】检测a→1,b→1,a+b→1=1x1学生对知识掌握情况.例2Φ,:a→l，若a是偶数，a→-l，若a是奇数Φ,是一个A到A的满射的同态映射新课讲解例3Φ,:α→-1(α是A的任一元)固然是一个A到A的映射，但不是同态映射2.同态满射（约20分钟）定义假如对于代数运算。和来说，有一个A到A的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个是同态满射在近世代数中，同态满射是尤其重要的师生互动定理1假设对于代数运算。和来说，A与A同态，那么【师】引导学生分析定理.（1）若。适合结合律，也适合结合律：【生】学生将证明（2）若。适合交换律，可也适合交换律发布到投稿箱.【设计意图】学生证明：（1）任取a,b,ceA，因p是满射=3a,b,ceA，通过证明巩固本节重点内容，锻炼使p(a)=a,p(b)=b,p(c)=又因为A中。的满足结合律分析问题能力，逻辑推理能力，=ao(boc)=(aob)oc即p(ao(boc)=p((aob)oc),但是β是同态映射，则p(ao(boc) =p(a) p(boc) =p(a) [(b) (c)=(b c)-21 -数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 21 - 新课 讲解 1. 同态映射（约 20 分钟） 定义 一个 A 到 A 的映射 叫做一个对于代数运算 和 来说的，A 到 A 的同态映射.假如，在 之下，不管 a 和b 是 A 的 那两个元，只要 a a,b b 就有 a b a b . 例 1 1 : a 1 ( a 是 A 的任一元)是一个 A 到 A 的同态映 射，1 是一个 A 到 A 的映射，显然对于的任意两个整数 a 和b 来 说，有 a 1,b 1,a b 111 . 例 2 2 : a 1，若 a 是偶数， a 1，若 a 是奇数， 2 是一个 A 到 A 的满射的同态映射. 例 3 3 : a 1 ( a 是 A 的任一元)固然是一个 A 到 A 的 映射，但不是同态映射. 2. 同态满射（约 20 分钟） 定义 假如对于代数运算 和 来说，有一个 A 到 A 的满射 的同态映射存在，则称这个映射是一个是同态满射. 在近世代数中，同态满射是尤其重要的. 定理 1 假设对于代数运算 和 来说， A 与 A 同态，那么 （1）若 适合结合律， 也适合结合律； （2）若 适合交换律， 也适合交换律. 证明：（1）任取 a,b ,c A ，因 是满射 a,b,c A， 使 (a) a,(b) b,(c) c . 又因为 A 中 的满足结合律 a (b c) (a b) c 即(a (b c)) ((a b) c) ，但是 是同态映射，则 (a (b c)) (a) (b c) (a) [(b) (c)] a (b c ) 雨课堂-弹幕 【师】引导学生分 析题目. 【生】弹幕发布答 案. 【设计意图】检测 学生对知识掌握 情况. 师生互动 【师】引导学生分 析定理. 【生】学生将证明 发布到投稿箱. 【设计意图】学生 通过证明巩固本 节重点内容，锻炼 分析问题能力，逻 辑推理能力
《抽象代数》教案第2章同态与同构p((aob)oc)) =p(aob) p(c) =[p(a) p(b) p(c) =(ab) 。c所以a(b)=(ab)同理可以证明（2）雨课堂-投稿定理2假定，④都是集合A的代数运算，，画都是集合定理证明【师】引导学生分A的代数运算并且存在一个A到A的满射β，使得A与A对于析定理.【生】雨课堂平台代数运算，来说同态。对于代数运算④，来说也是同态，那投稿证明过程学么生间互相点评证明过程.（1）若，④适合第一分配律，@，也适合第一分配律；【设计意图】检测学生对同态的分（2）若，④适合第一交换律，，④也适合第一交换律配律的掌握情况.证明：（1）Va,b,ceA，因β是满射=a,b,ceA，使p(a)=a,p(b)=b,p(c)=,又因为是关于?,④及,的同态映射一a(b可)= p(a)(p(b)p(c))= p[aβ(b由c))=p[(a@b)④(a@c)]=p(ab)④p(a@c)=[p(a)@p(b)]④[p(a)@p(c)]=(a卤b)画(a卤可)雨课堂一课堂习题【师】线上发布测即a卤(b每可)=(a卤b)画(a卤)试同理可证明（2）【生】在线作答。3.书后习题（约40分钟）【设计意图】检测学生对同态的掌P11-5,6,7,8P14-1,2,3，4握情况.【生】总结知识和思想方法：（弹幕1.知识小结：形式）【师】引导学生从知识、思想方法方同态映射映射面进行总结，并结课堂单射单同态映射+保持运算合课程内容进行小结满射满同态映射思政教育.双射思考题要求构造同构同态映射属于开放性题目，给学生2.思想方法总结：从特殊到一般的思想方法空间思考同态映射的特征和本质- 22 -数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 22 - ((a b) c)) (a b) (c) [(a) (b)] (c) (a b ) c 所以 a (b c ) (a b ) c . 同理可以证明（2）. 定理 2 假定 , 都是集合 A 的代数运算， , 都是集合 A 的代数运算并且存在一个 A 到 A 的满射 ，使得 A与 A 对于 代数运算 , 来说同态. 对于代数运算 , 来说也是同态，那 么 （1）若 , 适合第一分配律， , 也适合第一分配律； （2）若 , 适合第一交换律， , 也适合第一交换律. 证明：（1） a,b ,c A ，因 是满射 a,b,c A ，使 (a) a,(b) b,(c) c .又因为 是关于 , 及 , 的 同态映射 ( ) ( ) ( ( ) ( )) [ ( )] [( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) a b c a b c a b c a b a c a b a c a b a c a b a c 即 a (b c ) (a b ) (a c ) . 同理可证明（2）. 3.书后习题（约 40 分钟） P11-5，6，7，8 P14-1，2，3，4 雨课堂-投稿 定理证明 【师】引导学生分 析定理. 【生】雨课堂平台 投稿证明过程.学 生间互相点评证 明过程. 【设计意图】检测 学生对同态的分 配律的掌握情况. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对同态的掌 握情况. 课堂 小结 1. 知识小结： 2. 思想方法总结：从特殊到一般的思想方法. 【生】总结知识和 思想方法.（弹幕 形式） 【师】引导学生从 知识、思想方法方 面进行总结，并结 合课程内容进行 思政教育. 思考题要求构造 同态映射属于开 放性题目，给学生 空间思考同态映 射的特征和本质
《抽象代数》教案第2章同态与同构2.4同态1.同态定义2.同态的性质课堂板书【线上测试】课后在雨课堂发布【线下作业】P22-1课后【思考讨论】作业1.设R为实数，R的代数运算是普通乘法，构造R到R的一个子集R的同态满射x: x→x2例如：x→2．设R为实数，R的代数运算是普通加法，构造R到R的一个子集R的同态满射.例如：x→2x；x→-x【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对同态映射和同态满射的概念及性质掌握较好，特别是同态中涉及的三个映射，大部分学生能够明确区分，【教学设计分析】课后形象的讲解同态映射，强调同态中的三个映射并引导学生区分，效果很好：同态反思满射保持分配律性质的证明过程和交换律和结合律相似，课上证明时间过长【教学优化措施】同态满射保持分配律的性质证明留给学生课后完成，要特别关注课上交换律和结合律证明中书写存在问题的同学，及时反馈.数学与系统科学学院- 23 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 23 - 课堂 板书 2.4 同态 1. 同态定义 2. 同态的性质 课后 作业 【线上测试】 课后在雨课堂发布. 【线下作业】 P22-1 【思考讨论】 1. 设 R 为实数， R 的代数运算是普通乘法，构造 R 到 R 的一个子集 R 的同态满射. 例如： x x ； 2 x x . 2. 设 R 为实数， R 的代数运算是普通加法，构造 R 到 R 的一个子集 R 的同态满射. 例如： x 2x ； x x . 课后 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对同态映射和同态满射的概念及性 质掌握较好，特别是同态中涉及的三个映射，大部分学生能够明确区分. 【教学设计分析】 形象的讲解同态映射，强调同态中的三个映射并引导学生区分,效果很好；同态 满射保持分配律性质的证明过程和交换律和结合律相似，课上证明时间过长. 【教学优化措施】 同态满射保持分配律的性质证明留给学生课后完成，要特别关注课上交换律和结 合律证明中书写存在问题的同学，及时反馈
《抽象代数》教案第2章同态与同构授课题目课时2学时2.5同构与自同构教学内容同构的概念及性质【知识目标】1.会叙述同构的概念及性质；2.会用定义证明两个代数系统同构：3.会用定义证明两个代数系统同构的性质教学目标【能力目标】4.能够运用同构及同构的性质解决问题：5.运用类比的数学思想方法分析问题【素质目标】6.类比的思想方法【教学重点】同构的概念及性质重点与难点【教学难点】理解同构的本质【教学方法】讲授法、启发式教学法、课前预习法方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段【学习内容】同构的概念.课前自主学习【学习检测】课前在雨课堂发布课堂教学过程教学活动设计师生互动【师】回顾同态的概念.【生】同态的定新课上节课我们学习了同态，当同态映射是双射时，就是我们今义,导入天学习的内容---同构.（约5分钟）【设计意图】类比同态的定义引出同构的定义，帮助学生学习新知。1.同构（约10分钟）师生互动定义一个A到A的一一映射β是一个对于代数运算。和【师】同构定义和同态定义的异同可来说的，A到A的同构映射.假如，在β之下，不管α和b是A新课【生】一一映射的哪两个元，只要讲解【设计意图】比较同态和同构的定a→a,b→b义，强化同构定义，突出重点就有aob→ab.数学与系统科学学院-24-
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 24 - 授课题目 2.5 同构与自同构 课时 2 学时 教学内容 同构的概念及性质 教学目标 【知识目标】 1. 会叙述同构的概念及性质； 2. 会用定义证明两个代数系统同构； 3. 会用定义证明两个代数系统同构的性质. 【能力目标】 4. 能够运用同构及同构的性质解决问题； 5. 运用类比的数学思想方法分析问题. 【素质目标】 6. 类比的思想方法. 重点与难点 【教学重点】 同构的概念及性质. 【教学难点】 理解同构的本质. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、课前预习法. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课前自主学习 【学习内容】 同构的概念. 【学习检测】 课前在雨课堂发布. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 上节课我们学习了同态，当同态映射是双射时，就是我们今 天学习的内容-同构.（约 5 分钟） 师生互动 【师】回顾同态的 概念. 【生】同态的定 义. 【设计意图】类比 同态的定义引出 同构的定义，帮助 学生学习新知. 新课 讲解 1. 同构（约 10 分钟） 定义 一个 A 到 A 的一一映射 是一个对于代数运算 和 来说的，A 到 A 的同构映射.假如，在 之下，不管 a 和b 是 A 的哪两个元，只要 a a,b b 就有 a b a b . 师生互动 【师】同构定义和 同态定义的异同. 【生】一一映射. 【设计意图】比较 同态和同构的定 义，强化同构定 义，突出重点