《抽象代数》教案第2章同态与同构授课题目课时1学时2.3代数运算与运算律教学内容代数运算的概念，运算律【知识目标】1.会叙述代数运算的定义；2.会用定义判定代数运算及其是否符合运算律：3.会用定义证明代数运算满足运算律教学目标【能力目标】4.能够运用代数运算的运算律解决问题：5.运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题【素质目标】6.理解特殊与一般的辩证关系【教学重点】判定代数运算及其是否符合运算律重点与难点【教学难点】理解代数运算概念的本质【教学方法】讲授法、启发式教学法、讨论法方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段【学习内容】课前自主学习1.代数运算的概念；2．数域上的加法、乘法的运算律课堂教学过程教学活动设计我们在中小学学习过数集上的代数运算，加减乘除，整数集新课合中，加法运算是一个代数运算，今天，我们一起深入研究代数导入运算（约5分钟）师生互动1.代数运算（约10分钟）【师】代数运算和设给定A×A,×..×A到D的映射映射的关系【生】学生将结果f:AXAX.XA.-→D,发布在弹幕上【设计意图】代数如果n=2时，f就叫做代数运算，一般地有运算是特殊的映射，提出问题引发定义任一个A×B到D的映射都叫做A×B到D的一个新课学生关注代数运讲解代数运算算的本质，突出重点：将代数运算与例1A=(所有整数)，B=(所有不等于零的整数,算数联系，用简单D=（所有有理数）的例子讲解抽象.a的难点问题，便于0: (a,b)Haobb学生理解是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法例2令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的数学与系统科学学院- 15 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 15 - 授课题目 2.3 代数运算与运算律 课时 1 学时 教学内容 代数运算的概念，运算律 教学目标 【知识目标】 1. 会叙述代数运算的定义； 2. 会用定义判定代数运算及其是否符合运算律； 3. 会用定义证明代数运算满足运算律. 【能力目标】 4. 能够运用代数运算的运算律解决问题； 5. 运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题. 【素质目标】 6. 理解特殊与一般的辩证关系. 重点与难点 【教学重点】 判定代数运算及其是否符合运算律. 【教学难点】 理解代数运算概念的本质. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、讨论法. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课前自主学习 【学习内容】 1. 代数运算的概念； 2. 数域上的加法、乘法的运算律. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 我们在中小学学习过数集上的代数运算，加减乘除，整数集 合中，加法运算是一个代数运算，今天，我们一起深入研究代数 运算.（约 5 分钟） 新课 讲解 1. 代数运算（约 10 分钟） 设给定 A1 A2 Am 到 D 的映射 1 2 : m f A A A D ， 如果 n 2 时， f 就叫做代数运算. 一般地有 定义 任一个 A B 到 D 的映射都叫做 A B 到 D 的一个 代数运算. 例 1 A {所有整数}， B {所有不等于零的整数}， D {所有有理数} 0 :( , ) a a b a b b 是一个 A B 到 D 的代数运算，即普通的除法. 例 2 令V 是数域 F 上一个向量空间，那么 F 的数与V 的 师生互动 【师】代数运算和 映射的关系. 【生】学生将结果 发布在弹幕上. 【设计意图】代数 运算是特殊的映 射，提出问题引发 学生关注代数运 算的本质，突出重 点；将代数运算与 算数联系，用简单 的例子讲解抽象 的难点问题，便于 学生理解
《抽象代数》教案第2章同态与同构向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算雨课堂·课堂习题例3A=(1)，B=(2)，D=(奇，偶)【师】通过雨课堂平台推送习题0:(1,2)→奇=1o2【生】在线作答【设计意图】检测是一个A×B到D的代数运算，学生对代数运算例4A=(1,2)，B=(1,2)，D=(奇，偶)概念掌握情况0:(1,1)→奇，(2,2)→奇，(1,2)→奇，(2,1)→偶是一个AxB到D的代数运算代数运算表：当AB都是有限集时，那么A×B到D的每一个代数运算都可以用运算表表示设A=(aa2a,)B=(b,b2"bm)，则运算表为0bb,.bmajob,aob,...aobma,a,ob,a,ob,...a,obma,.....ananobanob,.anobm注：对于代数运算B×A→D的运算表，要求A与B中元素在上表中的位置互换在实际工作中，更多的是A=B=D的情形，这时，有如下定义：定义若。是A×A到A的代数运算，则可称。是A的代数运算或二元运算2.代数运算的运算性质（约25分钟）（一）结合律例题A=（所有整数】，代数运算是普通减法，那么(a-b)-ca-(b-c)，除非c=0定义设。是集合A的一个代数运算，如果Va,b,cEA都有(aob)c=a(boc)，则称。满足结合律数学与系统科学学院- 16 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 16 - 向量空间的乘法是一个 F V 到V 的代数运算. 例 3 A 1 ， B 2， D {奇，偶} 0 :(1,2) 奇 1 2 是一个 A×B 到 D 的代数运算. 例 4 A 1,2， B 1,2， D {奇，偶} 0 :(1,1) 奇，(2,2) 奇， (1,2) 奇， (2,1) 偶 是一个 A×B 到 D 的代数运算. 代数运算表：当 A, B 都是有限集时，那么 A B 到 D 的每一 个代数运算都可以用运算表表示. 设 A a1 , a2 ,, an , B b1 ,b2 ,,bm ，则运算表为： 1 b 2 b . mb 1 a 2 a. n a 1 1 a b 1 2 a b . m a b 1 2 1 a b 2 2 a b . m a b 2 . . . . . . 1 a b n 2 a b n . n m a b 注：对于代数运算 B A D 的运算表，要求 A 与 B 中元 素在上表中的位置互换. 在实际工作中，更多的是 A B D 的情形，这时，有如下 定义： 定义 若 是 A A到 A 的代数运算，则可称 是 A 的代数 运算或二元运算. ２. 代数运算的运算性质（约 25 分钟） （一）结合律 例题 A {所有整数}，代数运算是普通减法，那么 (a b) c a (b c) ，除非 c 0 . 定义 设 是集合 A 的一个代数运算，如果a,b, c A都有 (a b) c a (b c) ，则称 满足结合律. 雨课堂-课堂习题 【师】通过雨课堂 平台推送习题. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对代数运算 概念掌握情况
《抽象代数》教案第2章同态与同构定义设A中的代数运算为。，任取n(n>2)个元素a1,a2"",a,，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用a,.a,..a,来表示.雨课堂-投稿定理证明定理如果A的代数运算。满足结合律，那么对于A的任意【师】引导学生分n(n≥2)个元素aia2,"a,来说，所有加括号的步骤运算的结析定理【生】雨课堂平台果总是唯一的.因此，这一唯一的结果就可用α,。αz..a,来表投稿证明过程.学示.生间互相点评证明过程。[论证思路]【设计意图】检测·因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的学生对结合律的掌握情况，·任取一种加括号的步骤元(a,a,。.a)，往证：π(a, oa, ....oa,)=a, o(a, o...a,)·对n用数学归纳法①元(a, oa, o...oa.)=b, ob,②b,和b,分别是i和n-i个元素经加括号而运算的结果。③i≤n-1,n-i≤n-1，由归纳假设释之（二）交换律定义设。是集合A的一个代数运算，如果Va,beA都有aob=boa，则称。满足交换律定理设A的代数运算。同时满足结合律和交换律，那么a,a,。….oa,中的元的次序可以任意掉换[论证思路]·采用数学归纳法，归纳假设n-1时命题成立·对n的情形，任掉换a,的位置，使之成为a,oa,....a..·注意i,2，,，是1,2,n的一个排列，令谁=n·用结合律和归纳法假设证明之（三）分配律- 17-数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 17 - 定义 设 A 中的代数运算为 ，任取 n(n 2) 个元素 n a , a , , a 1 2 ，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的， 那么这个结果就用 n a a a 1 2 来表示. 定理 如果 A 的代数运算 满足结合律，那么对于 A 的任意 n(n 2) 个元素 n a , a , , a 1 2 来说，所有加括号的步骤运算的结 果总是唯一的.因此，这一唯一的结果就可用 n a a a 1 2 来表 示. [论证思路] 因 n 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的. 任取一种加括号的步骤 ( ) 1 2 n a a a ，往证： ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n a a a a a a . 对 n 用数学归纳法. ① 1 2 1 2 (a a a ) b b n ② 1 b 和 2 b 分别是i 和 n i 个元素经加括号而运算的结果. ③i n 1,n i n 1，由归纳假设释之. （二）交换律 定义 设 是集合 A 的一个代数运算，如果a,b A 都有 a b b a ，则称满足交换律. 定理 设 A 的代数运算 同时满足结合律和交换律，那么 n a a a 1 2 中的元的次序可以任意掉换. [论证思路] 采用数学归纳法，归纳假设 n 1时命题成立. 对 n 的情形，任掉换 i a 的位置，使之成为 n i i i a a a 1 2 . 注意 n i ,i , ,i 1 2 是1,2,,n 的一个排列，令i n k . 用结合律和归纳法假设证明之. （三）分配律 雨课堂-投稿 定理证明 【师】引导学生分 析定理. 【生】雨课堂平台 投稿证明过程.学 生间互相点评证 明过程. 【设计意图】检测 学生对结合律的 掌握情况
《抽象代数》教案第2章同态与同构代数运算③与④的第一分配律和第二分配律的定义，以及④的结合律与这两种分配律的综合运用，定义设A,B都是集合，而是B×A→A的代数运算，而④是A的代数运算，如果VbeB,Vai,azA，都有b@(aa,)=(b@a)o(b@az)那么称，④适合第一分配律雨课堂-弹幕例假如B与A都是全体实数的集合，③和④就是普通的课堂习题乘法和加法，则【师】请同学们在弹幕中发布答案b@(a,a,)=(b@a)(ba,)找同学解释答案，就变为【生】弹幕作答【设计意图】检测b(a, +az)=(ba,)+(ba2)学生对分配律的掌握情况.定理1设A,B和,④如上，如果④满足结合律，且③，④满足第一分配律，那么VbeB,Va,a2",aEA，都有b@(a,④a, ..④a.)=(b@a)④(b@az)...④(b@an)[论证思路】·采用数学归纳法，归纳假设n-1时命题成立·先后利用：结合律——n=2的归纳假设—一n-1的归纳假设直至完成证明.定义设A,B和?,同上，若VbBVa,azA，若有(a, 甲a,)@b=(a, @b)甲(a, @b),那么称，④满足第二分配律定理2设A，B和?，④同上，若适合结合律，而，④适合第二分配律。那么VbeB,Va,a2,a,A，都有(a, ④...a,)@b=(a @b)④...(a, @b) 数学与系统科学学院-18 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 18 - 代数运算 与 的第一分配律和第二分配律的定义，以及 的结合律与这两种分配律的综合运用. 定义 设 A, B 都是集合，而 是 B A A 的代数运算， 而 是 A 的代数运算，如果b B,a1 , a2 A，都有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 b a a b a b a 那么称, 适合第一分配律. 例 假如 B 与 A 都是全体实数的集合， 和 就是普通的 乘法和加法，则 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 b a a b a b a 就变为 1 2 1 2 b(a a ) (ba ) (ba ) . 定理 1 设 A, B 和, 如上，如果 满足结合律，且, 满足第一分配律，那么b B,a1 , a2 ,, an A ，都有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n b a a a b a b a b a [论证思路] 采用数学归纳法，归纳假设 n 1时命题成立. 先后利用：结合律—— n 2 的归纳假设—— n 1的归纳 假设直至完成证明. 定义 设 A, B 和, 同上，若b B,a1 , a2 A，若有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 a a b a b a b ， 那么称, 满足第二分配律. 定理 2 设 A, B 和, 同上，若 适合结合律，而 , 适 合第二分配律。那么 1 2 , , , , n b B a a a A ，都有 1 1 ( ) ( ) ( ) n n a a b a b a b . 雨课堂-弹幕 课堂习题 【师】请同学们在 弹幕中发布答案. 找同学解释答案. 【生】弹幕作答. 【设计意图】检测 学生对分配律的 掌握情况
《抽象代数》教案第2章同态与同构【生】总结知识和1.知识小结：（约5分钟）思想方法。（弹幕形式）映射【师】引导学生从（原像集合：二元组元与像间对应关系知识、思想方法方课堂面进行总结，并结小结代数运算?合课程内容进行思政教育表示方法定义运算性质2.思想方法总结：从特殊到一般的思想方法2.3代数运算与运算律结合律1.代数运算公益课堂板书分配律2.运算律交换律【线上测试】课后在雨课堂发布课后【线下作业】作业补充题【思考讨论】代数运算和映射的关系【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标完成较好，学生能掌握代数运算的概念，并能判断给定的代数运算是否符合交换、结合、分配律【教学设计分析】往届学生在证明运算律时，元素的选取范围易被忽视，本节课在证明结合律时，课后设计错例引起学生关注元素选取的任意性，在后续的证明中学生明显注意元素的任意反思性，严谨性增强【教学优化措施】分配律的证明原理和结合律、分配律一样，比较繁琐，可以要求部分学生完成，掌握较好的同学可以不做这一证明数学与系统科学学院- 19 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 19 - 课堂 小结 1. 知识小结：（约 5 分钟） 2. 思想方法总结：从特殊到一般的思想方法. 【生】总结知识和 思想方法。（弹幕 形式） 【师】引导学生从 知识、思想方法方 面进行总结，并结 合课程内容进行 思政教育. 课堂 板书 2.3 代数运算与运算律 1. 代数运算公益 2. 运算律 交换律 结合律 分配律 课后 作业 【线上测试】 课后在雨课堂发布. 【线下作业】 补充题 【思考讨论】 代数运算和映射的关系 课后 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标完成较好，学生能掌握代数运算的概念，并能判断 给定的代数运算是否符合交换、结合、分配律. 【教学设计分析】 往届学生在证明运算律时，元素的选取范围易被忽视. 本节课在证明结合律时， 设计错例引起学生关注元素选取的任意性. 在后续的证明中学生明显注意元素的任意 性，严谨性增强. 【教学优化措施】 分配律的证明原理和结合律、分配律一样，比较繁琐，可以要求部分学生完成， 掌握较好的同学可以不做这一证明