《抽象代数》教案第2章同态与同构假如在一个A与A之间，对于代数运算。和来说，存在一个A到A的同构映射，则称对于代数运算。和可来说，A与A同构，记为A=A例1 A=(1,2,3),A=(4,5,6),丽课堂-课堂习题【师】线上发布测145623试1333X666【生】在线作答23335666【设计意图】检测33336666学生对群同构知上表是A与A的代数运算。与的表，那么识掌握情况。1→4,2→53→6是一个A与A之间的同构映射2.自同构（约10分钟）定义对于代数运算。和。来说的一个A到A的一个同构映射叫做A的一个对于。来说的A的自同构雨课堂-弹幕例2A=(1,2,3)，代数运算由下表给定：课堂习题123【师】请同学们在1333弹幕中发布答案.2333找同学解释答案.3333【生】弹幕作答那么，Φ：1→2,2→1,3→3是一个对于。来说的A的自同构【设计意图】检测学生对自同构的3.同构的等价性质（约15分钟）掌握情况。（1）同构适合自反性：（2）同构适合对称性：（3）同构适合传递性4.书后习题（约40分钟）P19-1,2，3，4；P19-1，2【生】总结知识和1.知识小结：（约10分钟）思想方法（弹幕同态映射映射形式）【师】引导学生从单射课堂单同态映射+保持运算=知识、思想方法方小结满射满同态映射面进行总结，并结双射合课程内容进行同构思政教育.2.思想方法总结：类比的思想方法数学与系统科学学院- 25 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 25 - 假如在一个 A 与 A 之间，对于代数运算 和 来说，存在一 个 A 到 A 的同构映射，则称对于代数运算 和 来说，A 与 A 同 构，记为 A A . 例 1 A 1, 2,3 ， A 4,5,6 . 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 6 4 6 6 6 5 6 6 6 6 6 6 6 上表是 A与 A 的代数运算与 的表，那么 1 4,2 5,3 6 是一个 A 与 A 之间的同构映射. 2. 自同构（约 10 分钟） 定义 对于代数运算和 来说的一个 A 到 A 的一个同构映 射叫做 A 的一个对于来说的 A 的自同构. 例 2 A 1, 2,3，代数运算由下表给定： 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 那么， :1 2,2 1,3 3 是一个对于 来说的 A 的自同构. 3. 同构的等价性质（约 15 分钟） （1）同构适合自反性； （2）同构适合对称性； （3）同构适合传递性. 4.书后习题（约 40 分钟） P19-1，2，3，4； P19-1，2 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对群同构知 识掌握情况. 雨课堂-弹幕 课堂习题 【师】请同学们在 弹幕中发布答案. 找同学解释答案. 【生】弹幕作答. 【设计意图】检测 学生对自同构的 掌握情况. 课堂 小结 1. 知识小结：（约 10 分钟） 2. 思想方法总结：类比的思想方法. 【生】总结知识和 思想方法.（弹幕 形式） 【师】引导学生从 知识、思想方法方 面进行总结，并结 合课程内容进行 思政教育
《抽象代数》教案第2章同态与同构2.5同构习题1.同构定义2.自同构课堂板书【线上测试】课后在雨课堂发布课后【线下作业】作业补充题【思考讨论】构造同构映射.【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对同构和自同构的概念掌握较好，部分学生对同构等价性质的证明存在困难。【教学设计分析】课后同态、同构及等价关系的概念都很抽象，大部分学生运用概念判定代数系统间的反思同态、同构还比较顺畅.但同构和等价关系的证明理论性较强，部分学生运用概念进行证明时会觉得无从下手。【教学优化措施】在证明同构等价性质的前回顾等价关系的定义，并把定义写在黑板上，证明过程按照定义逐条证明.将复杂问题拆解成三个小问题，逐个分析解决数学与系统科学学院- 26 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 26 - 课堂 板书 2.5 同构 1. 同构定义 2. 自同构 习题 课后 作业 【线上测试】 课后在雨课堂发布. 【线下作业】 补充题 【思考讨论】 构造同构映射. 课后 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对同构和自同构的概念掌握较好， 部分学生对同构等价性质的证明存在困难. 【教学设计分析】 同态、同构及等价关系的概念都很抽象，大部分学生运用概念判定代数系统间的 同态、同构还比较顺畅.但同构和等价关系的证明理论性较强，部分学生运用概念进 行证明时会觉得无从下手. 【教学优化措施】 在证明同构等价性质的前回顾等价关系的定义，并把定义写在黑板上，证明过程 按照定义逐条证明.将复杂问题拆解成三个小问题，逐个分析解决
《抽象代数》教案第3章群授课题目课时6学时3.1群的基本概念及性质教学内容群的基本概念，特殊元素及性质【知识目标】1.会叙述群的定义；2.会用群定义的等价条件判定群：3.会叙述单位元、逆元、元的阶的定义；4.会利用单位元、逆元，证明有关的性质和定理；5.会叙述有限群的定义；6.会用定义判定有限群；7.会用有限群定义证明有关定理【能力目标】教学目标1.能够运用群的概念解决问题；2．能够灵活运用单位元、逆元、消去律及元的阶的概念解决问题3.能够运用有限群的思想解决问题：4.运用从一般到特殊的数学思想方法分析问题【素质目标】1.理解特殊与一般的辩证关系：2.对称即群：数学来源于生活又作用于生活：3.变中有不变【教学重点】1.群的定义、基本特点、群的思想方法、群的判定常用的方法：2.单位元、逆元、消去律及元的阶的概念：3.有限群的定义重点与难点【教学难点】1.利用群的定义证明性质和判定：2.灵活运用元的阶的概念；3.理解有限群的定义【教学方法】讲授法、启发式教学法、讨论法等方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段课堂教学过程教学活动设计师生互动3.1-1（约10分钟）【师】三角形对称1.生活中的对称性变换：两个代数系统的共同特征。2.整数集合Z，加法运算+构成的代数系统（Z,+)新课【生】学生将猜想导入结果发布在弹幕去0的有理数集合，乘法运算构成的代数系统（O-{0,×）上【设计意图】实例这两个代数系统有共同特点：封闭性，结合律成立；（Z，+)中引入，便于学生理- 27-数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 3 章 群 数学与系统科学学院 - 27 - 授课题目 3.1 群的基本概念及性质 课时 6 学时 教学内容 群的基本概念，特殊元素及性质 教学目标 【知识目标】 1. 会叙述群的定义； 2. 会用群定义的等价条件判定群； 3. 会叙述单位元、逆元、元的阶的定义； 4. 会利用单位元、逆元，证明有关的性质和定理； 5. 会叙述有限群的定义； 6. 会用定义判定有限群； 7. 会用有限群定义证明有关定理. 【能力目标】 1. 能够运用群的概念解决问题； 2. 能够灵活运用单位元、逆元、消去律及元的阶的概念解决问题； 3. 能够运用有限群的思想解决问题； 4. 运用从一般到特殊的数学思想方法分析问题. 【素质目标】 1. 理解特殊与一般的辩证关系； 2. 对称即群；数学来源于生活又作用于生活； 3. 变中有不变. 重点与难点 【教学重点】 1. 群的定义、基本特点、群的思想方法、群的判定常用的方法； 2. 单位元、逆元、消去律及元的阶的概念； 3. 有限群的定义. 【教学难点】 1. 利用群的定义证明性质和判定； 2. 灵活运用元的阶的概念； 3. 理解有限群的定义. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、讨论法等. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 3.1-1（约 10 分钟） 1. 生活中的对称性 2. 整数集合 Z ，加法运算 构成的代数系统(Z,). 去 0 的有理数集合，乘法运算构成的代数系统Q {0},. 这两个代数系统有共同特点：封闭性，结合律成立；(Z,) 中 师生互动 【师】三角形对称 变换；两个代数系 统的共同特征. 【生】学生将猜想 结果发布在弹幕 上. 【设计意图】实例 引入，便于学生理
第3章群《抽象代数》教案解群的特征的0，（Q-{0),×)中的1乘以集合中任意元都等于那个元；对于两个集合中每个元来说都能找到一个元，与之作运算分别等于上一点中的特殊元；方程ax=b和ya=b在两个代数系统中都有唯一解这两个代数系统有这么多共同点是偶然吗？3.1-2（约10分钟）【生】学生将复习内容发布在弹幕回顾群的定义，本节我们继续研究群中的特殊元素和运算律上3.1-3（约10分钟）【设计意图】复习引入，前面我们学习了群的两个定义，这两个定义对任意的群都适合，如果集合是有限集，我们有特殊的定义来判别，这就是有限群特有的定义3. 1-11群的定义（约10分钟）师生互动上面两例中特殊的代数系统都是群【师】由引例引导群的定义1一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来学生总结定义，【生】学生根据引说作成一个群，假如：例中群的特征描I.G对于这个乘法来说是闭的：述群【设计意图】学生IⅡI.结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都成立；总结群的特征，培IV.G里至少有一个元e，叫做G的一个左单位元，能让养学生归纳总结的能力ea=ae=a新课对于G的任何元α都成立；讲解V.对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元，能让aa=aa=e2.单位元、逆元（约15分钟）定理1在一群G里存在一个并且只存在一个元e，能使ea=ae=a对于G的任意元α都成立提示：只须用反证法证唯一性定义一个群G的唯一的能使-28 -数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 3 章 群 数学与系统科学学院 - 28 - 的 0，Q {0}, 中的 1 乘以集合中任意元都等于那个元；对于 两个集合中每个元来说都能找到一个元，与之作运算分别等于上 一点中的特殊元；方程 ax b 和 ya b 在两个代数系统中都有唯 一解.这两个代数系统有这么多共同点是偶然吗？ 3.1-2（约 10 分钟） 回顾群的定义，本节我们继续研究群中的特殊元素和运算律. 3.1-3（约 10 分钟） 前面我们学习了群的两个定义，这两个定义对任意的群都适 合，如果集合是有限集，我们有特殊的定义来判别，这就是有限 群特有的定义. 解群的特征. 【生】学生将复习 内容发布在弹幕 上. 【设计意图】复习 引入. 新课 讲解 3.1-1 1. 群的定义（约 10 分钟） 上面两例中特殊的代数系统都是群. 群的定义 1 一个非空集合G 对一个叫做乘法的代数过算来 说作成一个群，假如： Ⅰ. G 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ. 结合律成立： a(bc) (ab)c 对G 的任意三个元都成立； Ⅳ. G 里至少有一个元e ，叫做G 的一个左单位元，能让 ea ae a 对于G 的任何元 a 都成立； Ⅴ. 对于G 的每一个元 a ，在G 里至少存在一个左逆元，能 让 1 1 a a aa e . 2. 单位元、逆元（约 15 分钟） 定理 1 在一群G 里存在一个并且只存在一个元e ，能使 ea ae a 对于G 的任意元 a 都成立. 提示：只须用反证法证唯一性. 定义 一个群G 的唯一的能使 师生互动 【师】由引例引导 学生总结定义. 【生】学生根据引 例中群的特征描 述群. 【设计意图】学生 总结群的特征，培 养学生归纳总结 的能力
《抽象代数》教案第3章群ea=ae=a（a是G的任一元）的元e叫做群G的单位元定理2对于群G的每一个元α来说，在G里存在一个而且只存在一个元α-，能使a'a=aa'=e提示：只须用反证法证唯一性定义唯一的能使a'a=aa-l=e的元α叫做元α的逆元（有时简称逆）雨课堂一课堂习题例1全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，【师】线上发布测试则这个群的单位元是零，元α的逆元是一a【生】在线作答.例2全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单【设计意图】检测学生对知识掌握位元是零，α的逆元是-α程度.3.群的等价定义（约30分钟）师生互动群的定义2一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来【师】引导学生推说作成一个群，假如：导等价定义，【生】学生推导等I.G对于这个乘法来说是闭的：价定义IⅡI.结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都成立：【设计意图】通过IV.G里至少有一个元e，叫做G的一个左单位元，能让群的定义间的等价推导，培养学生ea=a的推理能力。对于G的任何元α都成立；V.对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元，能让a'a=e.证明思路：1.一个左逆元也一定是一个右逆元2.一个左单位元也一定是一个右单位元；3.最终结论群G有以下性质：IV.G里至少有一个元e，叫做G的一个左单位元，能让-29 -数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 3 章 群 数学与系统科学学院 - 29 - ea ae a （ a 是G 的任一元） 的元 e 叫做群G 的单位元. 定理 2 对于群G 的每一个元 a 来说，在G 里存在一个而且 只存在一个元 1 a ，能使 1 1 a a aa e 提示：只须用反证法证唯一性. 定义 唯一的能使 1 1 a a aa e 的元 1 a 叫做元 a 的逆元（有时简称逆）. 例 1 全体不等于0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群， 则这个群的单位元是零，元 a 的逆元是 a . 例 2 全体整数对于普通加法来说作成一个群. 这个群的单 位元是零， a 的逆元是 a . 3. 群的等价定义（约 30 分钟） 群的定义 2 一个非空集合G 对一个叫做乘法的代数过算来 说作成一个群，假如： Ⅰ. G 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ. 结合律成立： a(bc) (ab)c 对G 的任意三个元都成立； Ⅳ. G 里至少有一个元e ，叫做G 的一个左单位元，能让 ea a 对于G 的任何元 a 都成立； Ⅴ. 对于G 的每一个元 a ，在G 里至少存在一个左逆元，能 让 1 a a e . 证明思路： 1. 一个左逆元也一定是一个右逆元； 2. 一个左单位元也一定是一个右单位元； 3．最终结论. 群G 有以下性质： Ⅳ. G 里至少有一个元e ，叫做G 的一个左单位元，能让 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对知识掌握 程度. 师生互动 【师】引导学生推 导等价定义. 【生】学生推导等 价定义. 【设计意图】通过 群的定义间的等 价推导，培养学生 的推理能力