《抽象代数》教案第2章同态与同构念及运算的归纳集合D的一个映射总结，从而培养学其中，元d是（axa,x.xa）在映射的象，a是b在下生的概括能力的逆象例1A=A=…=A,=D=所有实数作成的集合:(a,a2,a)→a+a+.+a,=(a,a,a,)是一个A×A××A,到D的映射例2A=（东西)，A,=（南），D=（高，低:(西,南)→高=(西,南)不是一个A,×A,到D的映射丽课堂-课堂习题:(西,南)→高，（东,南)→低，则Φ是一个A,×A到D的【师】线上发布测试.映射.【生】在线作答例3A,=D=所有实数所成的集合【设计意图】检测学生对知识掌握若a+1p:a-a程度这里62=11→b不是一个A到D的映射例4A,=D=所有实数所成的集合:a→a-1不是一个A到D的映射定义我们说，A×A,×..×A,到集合D的两个映射与d,是相同的，假如对任何一个元(a×a,×….xa,）来说(a,xa,+.a,)=d(axa+.an)例5A=D=所有正整数的集合a-→1=(a):a→a=(a)数学与系统科学学院- 10 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 10 - 集合 D 的一个映射. 其中，元 d 是 1 2 ( ) n a a a 在映射 的象，a 是b 在 下 的逆象. 例 1 A1 A2 An D 所有实数作成的集合. 2 2 2 1 2 1 2 1 2 :( , , , ) ( , , , ) n n n a a a a a a a a a 是 一个 A1 A2 An 到 D 的映射. 例 2 A1 {东,西}， A2 {南}， D {高,低} 1：(西,南)高 1 (西,南)不是一个 A1 A2 到 D 的映射. 2：(西,南)高，(东,南)低，则2 是一个 A1 A2 到 D 的 映射.例 3 A1 D 所有实数所成的集合. : a a 若 a 1 1 b 这里 2 b 1 不是一个 A1到 D 的映射. 例 4 A1 D 所有实数所成的集合. : a a 1不是一个 A1到 D 的映射. 定义 我们说， A1 A2 An 到集合 D 的两个映射1与 2 是相同的，假如对任何一个元 1 2 ( ) n a a a 来说， 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) n n a a a a a a . 例 5 A D 所有正整数的集合. 1 1 : a 1 (a) 0 2 2 : a a (a) 念及运算的归纳 总结，从而培养学 生的概括能力. 雨课堂-课堂习题 【师】线上发布测 试. 【生】在线作答. 【设计意图】检测 学生对知识掌握 程度
《抽象代数》教案第2章同态与同构则与是相同的2.一一映射（约15分钟）导入：前面我们学习了映射，映射要求原像集合中每一个元素都存在唯一的像，这个像可以是唯一一个，也可以是多个，这样可以按元与像的对应关系将映射分类在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论例1 A=(1,2,3,4,5),A=[2,4,6,8),则$:1→2,2→4,3→6,4→2,5→2是一个A到A的映射例2A={1,2,3,小，A=(奇，偶)，则.1,3,5,…→奇，2,4,6.→偶是一个A到A的映射定义若是在一个集合A到A的映射β下，A的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么β叫做一个A到A的满射定义一个A到A的映射，:α→a叫做一个A到A单射，假如ab=ab定义设β是集合A到A的映射，且β既是单的又是满的，则称β是一个一一映射（双射）例3β: Z = (1,2,3,}→2Z ={2,4,6,)其中p(n)=2n,neZ，可知显然是一个双射注意：Z与偶数集2Z之间存在双射，这表明：Z与它的-一生生互动个真子集2Z一样“大”，【师】一个集合与其真子集大小的思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样问题.“大”这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结【生】学生讨论.【设计意图】此问论：A为无限集的充要条件是A与其某个真子集之间存在双射题是易混滑问题，-11-数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 11 - 则1与2 是相同的. ２. 一一映射（约 15 分钟） 导入：前面我们学习了映射，映射要求原像集合中每一个元 素都存在唯一的像，这个像可以是唯一一个，也可以是多个，这 样可以按元与像的对应关系将映射分类. 在第 1 讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重 要的一一映射作重点的讨论. 例 1 A 1,2,3, 4,5 ， A 2, 4,6,8 ，则 :1 2,2 4,3 6,4 2,5 2 是一个 A 到 A 的映射. 例 2 A 1, 2,3,， A {奇，偶}，则 :1,3,5, 奇， 2, 4,6 偶 是一个 A 到 A 的映射. 定义 若是在一个集合 A 到 A 的映射 下，A 的每一个元都 至少是 A 中某一个元的象，那么 叫做一个 A 到 A 的满射. 定义 一个 A 到 A 的映射， : a a 叫做一个 A 到 A 单 射，假如 a b a b . 定义 设 是集合 A 到 A 的映射，且 既是单的又是满的， 则称 是一个一一映射（双射）. 例 3 : Z {1,2,3,} 2Z {2,4,6,} 其中(n) 2n,n Z ，可知 显然是一个双射. 注意： Z 与偶数集 2Z 之间存在双射，这表明： Z 与它的一 个真子集 2Z 一样“大”. 思考题：从例 1 中得知：一个无限集与其的某个真子集一样 “大”.这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结 论： A 为无限集的充要条件是 A 与其某个真子集之间存在双射. 生生互动 【师】一个集合与 其真子集大小的 问题. 【生】学生讨论. 【设计意图】此问 题是易混淆问题
《抽象代数》教案第2章同态与同构给学生时间相互定理一个A到A的一一映射β带来一个通常用β表示讨论问题，通过讨论深入理解，突破的A到A间的一一映射混淆点.证明：由于β是A到A的双射，那么就A中任一个元a，师生互动它在A中都有逆象a，并且这个逆象α是唯一的.利用β的这一特【师】引导学生分析定理.点，则可确定由A到A的映射β-l：【生】运用定义证明映射，单射，满$-l : A-→ A, VaeA,p-'(a)=a,射.【设计意图】强化如果(a)=a，由上述说明，易知β-是映射映射，单射，满射的特征，帮助学生β-是满射：VaEA，因是映射=aeA，使理解难点问题(a)=a，再由β-的定义知-(a)=a，这恰说明，a是a在β-下的逆象.由α的任意性，知β-"是满射p-是单射：aaA，若aa由p是满射=a及a的逆象分别是及，即(a)=a,-()=，又是单射→a,a2，这说明()()，所以是单射综合上述讨论知：-是A到A的一个双射结论：设β：A→A是映射，那么：（1）@是双射一β可唯一的确定一个逆映射$-1:A→A，使得：·β"是双射；. 0-1=1,-=1A·也是"的逆映射，且(")=：（2）β是双射=A与A同时是有限集或同时是无限集3.变换（约5分钟）定义一个A到A的映射叫做A的一个变换一个A到A的一一映射（单射，满射）时，也称为A的一个一变换（单射变换，满射变换）数学与系统科学学院- 12 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 12 - 定理 一个 A 到 A 的一一映射 带来一个通常用 1 表示 的 A 到 A 间的一一映射. 证明：由于 是 A 到 A 的双射，那么就 A 中任一个元 a ， 它在 A 中都有逆象 a ，并且这个逆象 a 是唯一的.利用 的这一特 点，则可确定由 A 到 A 的映射 1 ： 1 1 : A A, a A, (a) a ， 如果(a) a ，由上述说明，易知 1 是映射. 1 是 满 射 ： a A ， 因 是 映 射 a A ， 使 (a) a ，再由 1 的定义知 1 (a) a ，这恰说明，a 是 a 在 1 下的逆象.由 a 的任意性，知 1 是满射. 1 是单射： 1 2 a ,a A ，若 1 2 a a 由 是满射 1 a 及 2 a 的逆象分别是 1 a 及 2 a ，即 1 1 1 1 2 2 (a ) a , (a ) a ，又 是单 射 1 2 a a ，这说明 1 1 1 2 (a ) (a ) ，所以 1 是单射. 综合上述讨论知： 1 是 A 到 A 的一个双射. 结论：设 : A A 是映射，那么： （ 1 ） 是 双 射 可 唯 一 的 确 定 一 个 逆 映 射 1 : A A ，使得： 1 是双射； 1 1 1 , 1 A A ； 也是 1 的逆映射，且 1 1 ( ) ； （2） 是双射 A 与 A 同时是有限集或同时是无限集. 3. 变换（约 5 分钟） 定义 一个 A 到 A 的映射叫做 A 的一个变换. 一个 A 到 A 的一一映射（单射，满射）时，也称为 A 的一个 一一变换（单射变换，满射变换）. 给学生时间相互 讨论问题，通过讨 论深入理解，突破 混淆点. 师生互动 【师】引导学生分 析定理. 【生】运用定义证 明映射，单射，满 射. 【设计意图】强化 映射，单射，满射 的特征，帮助学生 理解难点问题
《抽象代数》教案第2章同态与同构例4A=（所有实数），T：x→e是A的一个单射变换雨课堂-弹花例5A=（所有整数）课堂习题a【师】请同学们在t:a-→假如a是偶数2弹幕中发布答案.a+1找同学解释答案假如a是奇数a→【生】弹幕作答.2【设计意图】检测是A的一个满射变换学生对变换概念4.巩固练习（约5分钟）的掌握情况.例6 A=(1,2,3)t, :1→1,2→2,3-→3t, :1→2,2→3,3→1都是A的一一变换【生】总结知识和1.知识小结：（约5分钟）思想方法.（弹幕形式）映射【师】引导学生从知识、思想方法方原像集合：二元组元与像间对应关系面进行总结，并结代数运算?合课程内容进行课堂思政教育.小结定义表示方法运算性质2.思想方法总结：从特殊到一般的思想方法3.有引例面部识别和3D打印技术引申，说明数学是其他学科基础，增强学生专业自信2.2映射1.映射定义单射、满射课堂板书双射2.映射乘法数学与系统科学学院- 13 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 13 - 例 4 A {所有实数}， : x x e 是 A 的一个单射变换. 例 5 A {所有整数} : 2 a a 假如 a 是偶数 1 2 a a 假如 a 是奇数 是 A 的一个满射变换. 4. 巩固练习（约 5 分钟） 例 6 A 1,2,3 1 :11,2 2,3 3 2 :1 2,2 3,3 1 都是 A 的一一变换. 雨课堂-弹幕 课堂习题 【师】请同学们在 弹幕中发布答案. 找同学解释答案. 【生】弹幕作答. 【设计意图】检测 学生对变换概念 的掌握情况. 课堂 小结 1. 知识小结：（约 5 分钟） 2. 思想方法总结：从特殊到一般的思想方法. 3. 有引例面部识别和 3D 打印技术引申，说明数学是其他学科基 础，增强学生专业自信. 【生】总结知识和 思想方法.（弹幕 形式） 【师】引导学生从 知识、思想方法方 面进行总结，并结 合课程内容进行 思政教育. 课堂 板书 2.2 映射 1. 映射定义 2. 映射乘法 单射、满射 双射
《抽象代数》教案第2章同态与同构【线上测试】课后在雨课堂发布【线下作业】课后P14-2及补充题作业【思考讨论】算式2+3=5和映射(2,3))=5的关系代数运算是一类特殊的映射.【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对映射的概念掌握较好，对具体的法则的判定基本准确，但对抽象法则的判定仍存在问题【教学设计分析】课后对映射和单射的概念设计效果较好，学生对概念掌握比较牢固，能叙述判定和证反思明的理论依据和具体步骤，但在实际操作时学生存在困难，容易混淆映射和单射.由于后续章节中经常需要用到，在这一部分还是要强化【教学优化措施】丰富映射和单射的判定问题，学生间相互讲解，促进抽象理论的理解.数学与系统科学学院- 14 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 14 - 课后 作业 【线上测试】 课后在雨课堂发布. 【线下作业】 P14-2 及补充题 【思考讨论】 算式 2 3 5 和映射(2,3) 5 的关系. 代数运算是一类特殊的映射. 课后 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对映射的概念掌握较好，对具体的 法则的判定基本准确，但对抽象法则的判定仍存在问题. 【教学设计分析】 对映射和单射的概念设计效果较好，学生对概念掌握比较牢固，能叙述判定和证 明的理论依据和具体步骤，但在实际操作时学生存在困难，容易混淆映射和单射.由 于后续章节中经常需要用到，在这一部分还是要强化. 【教学优化措施】 丰富映射和单射的判定问题，学生间相互讲解，促进抽象理论的理解