《抽象代数》教案第2章同态与同构(3）推移律（传递性）：Va,b,cEA，当ab且b~c时，必有a~c当a~b时，习惯称a与b等价2.分类（约10分钟）定义若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类【设计意图】由特例全体整数被3除，按余数分成三个子集，每个子集是一例引入，便于学生个类，三个子集的集合是一个分类理解一般情况全体整数被整数n除，按余数分成n个子集，每个子集是一个类，n个子集的集合是一个分类课堂-投稿定理1集合A的每个分类都决定了A的元间的一个等价关定理证明系.【师】引导学生分析定理证明设Q=（A.CAiE是A的一个分类，用Q我们可【生】雨课堂平台以规定A上的一个二元关系：α～bα与b在同一类里，显然投稿证明过程.学生间互相点评证～是A的一个关系，须证～是等价关系明过程.【设计意图】检测(1)反身性：VaEA，则ieI使aA，故a与a同在A中学生对等价关系.a-a概念的掌握情况。（2）对称性：Va,beA，若a~b，则有，，使a与b同在A中，当然b与α同在A中.b~a（3）传递性：Va,b,ceA，若a~b，b~c，故存在ije，使a与b同在A中，b与c同在A,中=beAnA，由分类的特性知A=A=a与c同在A中..a~c定理2集合A的一个等价关系～决定A的一个分类证明：VaeA，令[a]=xAx~a，如此确定的这些子集具有：（1)[a]の：由a~a=ae[a]；（2)[a]n[b]=，-5-数学与系统科学学院
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 5 - （3）推移律（传递性）：a,b,c A ，当 a b 且b c 时， 必有 a c . 当 a b 时，习惯称 a 与b 等价. 2. 分类（约 10 分钟） 定义 若把一个集合 A分成若干个叫做类的子集，使得 A的 每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合 A 的一个分类. 例 全体整数被 3 除，按余数分成三个子集，每个子集是一 个类，三个子集的集合是一个分类. 全体整数被整数 n 除，按余数分成 n 个子集，每个子集是一 个类， n 个子集的集合是一个分类. 定理 1 集合 A 的每个分类都决定了 A 的元间的一个等价关 系. 证明 设 {A Ai I} i 是 A 的一个分类，用 我们可 以规定 A 上的一个二元关系：a b a 与b 在同一类里，显然 是 A 的一个关系，须证 是等价关系. （1）反身性：a A ，则i I 使 i a A ，故 a 与 a 同在 Ai 中. a a . （2）对称性：a,b A，若a b ，则有i I ，使 a 与b 同 在 Ai 中，当然b 与 a 同在 Ai 中. b a . （3）传递性： a,b,c A ，若 a b ，b c ，故存在i, j I ，使 a 与b 同在 Ai 中， b 与 c 同在 Aj 中 i j b A A ，由分类的特性知 Ai Aj a 与c 同在 Ai 中. a c . 定理 2 集合 A 的一个等价关系 决定 A 的一个分类. 证明：a A ，令[a] x A x a，如此确定的这些子 集具有：（1）[a] ：由a a a[a]；（2）[a][b] ， 【设计意图】由特 例引入，便于学生 理解一般情况. 雨课堂-投稿 定理证明 【师】引导学生分 析定理. 【生】雨课堂平台 投稿证明过程.学 生间互相点评证 明过程. 【设计意图】检测 学生对等价关系 概念的掌握情况
《抽象代数》教案第2章同态与同构当a与b不等价时：若xe[a]n[b]=x~a，x~b，由~的对称性和传递性知a~b，推出矛盾，所以[a]n[b]=の；（3)A=U[a]: : Vae A=ae[a]U[a]Vae.aEA:Q={[a]VaEA)是A的一个分类注意：生生互动(1) a ~b [a]=[b].【师】引导学生分“=""a~b=ae[6]析关系和分类的关系.Vxe[a]=x~a，由~的“传递性”x~b【生】学生讨论... xe [6] .[a]c[b]【设计意图】关系和分类问题是本又:b~a=be[a]=[b]c[a]节的难点问题，给.. [a] = [6].学生时间相互讨论问题，通过讨论“” ae[a]=[b]=ae[b]深入理解，突破难点.a~b.(2) 若[a]n[b] ± = [a] =[6]因为设xe[a]n[b]=xe[a],即x~a.又xe[b],即x~b,由传递性推出a~b.再由（1）知[a]=[b]定义假定我们有一个集合的分类，那么一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表，刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团注：由于Vbe[a]，那么b~a，这表明对等价类[a]来说，[a]中任何元素b均可作为[a]的代表，即等价类与其代表元素的选取无关3.同余关系（约5分钟）一种重要的等价关系一一同余关系定义任取0<neZ，可以在Z中确定一种等价关系R: Va,be Z,aRb - nla-b则称R为模n的同余关系，并将aRb记为a=b(n）（a同余b模n）由同余关系确定的分类中的等价关系为模n的剩余类.而由数学与系统科学学院-6-
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 6 - 当 a 与b 不等价时：若 x[a][b] x a ，x b ，由 的对 称性和传递性知 a b ，推出矛盾，所以[a][b] ；（3） a A A a [ ]： a A a A a a a [ ] [ ]. {[a] a A}是 A的一个分类. 注意： （1）a b [a] [b]. “ ”a b a b. xa x a ，由 的“传递性” x b . xb[a] [b] 又b a b[a] [b] [a] [a] [b]. “” a [a] [b] a [b] a b . （2）若[a][b] [a] [b]. 因为设 x[a][b] x[a] ，即 x a . 又 x[b]，即 x b . 由传递性推出 a b . 再由（1）知[a] [b]. 定义 假定我们有一个集合的分类，那么一个类里的任何一 个元叫做这个类的一个代表. 刚好由每一类的一个代表组成的集 合叫做一个全体代表团. 注：由于b [a]，那么b a ，这表明对等价类[a]来说， [a]中任何元素b 均可作为[a]的代表，即等价类与其代表元素的 选取无关. 3. 同余关系（约 5 分钟） 一种重要的等价关系——同余关系 定义 任取0 n Z ，可以在 Z 中确定一种等价关系 R : a,b Z, aRb n a b 则称 R 为模 n 的同余关系，并将 aRb 记为 a b(n) （ a 同余b 模 n ）. 由同余关系确定的分类中的等价关系为模 n 的剩余类.而由 生生互动 【师】引导学生分 析关系和分类的 关系. 【生】学生讨论. 【设计意图】关系 和分类问题是本 节的难点问题，给 学生时间相互讨 论问题，通过讨论 深入理解，突破难 点
《抽象代数》教案第2章同态与同构同余关系引导出来的商集Z/习惯上记为Z，模n的同余关系为：Z, = ([0],[1],[2], . [n - 1]其中[0]={..,-2n,-n,0,n,2n,...][]={,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,..-]...............[n-1]=(..-n-1, -1,n-1,2n-1,...4.巩固练习（约5分钟）请用数学语言描述将数学院2022级学生间的同寝关系，并确定这一关系是否为等价关系2.1-1集合小结【生】总结知识和1.知识小结：思想方法。（弹幕形式)【师】由抽象代数集合发展历史引申思政教育，鼓励学生勇于探索创新集合相关基本概集合运算心新投复习集合、元素、表集合与元素关系差、对称差、卡课堂交、并、补、小方法集合与集合关系氏积小结2.思想方法总结：从特殊到一般的思想方法3.理解实践检验与逻辑证明的关系2.1-2关系小结1.知识小结掌握模n的同余关系、模n的剩余类：理解二者间关系2.思想方法总结：从特殊到一般的思想方法数学与系统科学学院- 7 -
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 7 - 同余关系引导出来的商集 R Z 习惯上记为 Zn . 模 n 的同余关系为： Zn [0],[1],[2],[n 1]， 其中 [0] { , 2 , ,0, ,2 , } [1] { , 2 1, 1,1, 1, 2 1, } [ 1] { 1, 1, 1,2 1, } n n n n n n n n n n n n 4. 巩固练习（约 5 分钟） 请用数学语言描述将数学院 2022 级学生间的同寝关系，并 确定这一关系是否为等价关系. 课堂 小结 2.1-1 集合小结 1. 知识小结： 2. 思想方法总结：从特殊到一般的思想方法. 3. 理解实践检验与逻辑证明的关系. 2.1-2 关系小结 1. 知识小结： 掌握模 n 的同余关系、模 n 的剩余类；理解二者间关系. 2. 思想方法总结：从特殊到一般的思想方法. 【生】总结知识和 思想方法。（弹幕 形式） 【师】由抽象代数 发展历史引申思 政教育，鼓励学生 勇于探索创新
《抽象代数》教案第2章同态与同构2.1-1集合与关系1.集合定义2.集合运算卡氏积差对称差课堂板书2.1-2集合与关系1.关系2.同余关系等价关系等价关系和分类的关系【线上测试】课后在雨课堂发布，具体内容见本节附件1.1-2【线下作业】课后P11-4,5作业【思考讨论】1. A=(0,[O),B=O, 则A-B=?2.举例说明分类，等价关系及二者的关系【目标完成情况】本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对集合概念及运算掌握较好，以实例引出分类和关系的概念，学生对抽象概念的理解较好：学生能理解等价关系的概念，将近一半的学生可以完成定理证明，但证明过程严谨性不足：抽象代数的发展历史引课后申思想教育，引起学生共鸣，效果较好反思【教学设计分析】讲述抽象代数发展的视频信息量有些大，学生短时间消化有些困难【教学优化措施】预习内容增加查阅抽象代数的故事，播放视频前找3-4个学生讲述故事数学与系统科学学院-8-
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 8 - 课堂 板书 2.1-1 集合与关系 1. 集合定义 2. 集合运算 差 对称差 卡氏积 2.1-2 集合与关系 1. 关系 等价关系 等价关系和分类的关系 2. 同余关系 课后 作业 【线上测试】 课后在雨课堂发布，具体内容见本节附件 1.1-2. 【线下作业】 P11-4,5 【思考讨论】 1. A , ， B ，则 A B ? 2. 举例说明分类，等价关系及二者的关系. 课后 反思 【目标完成情况】 本节课知识、能力和素质目标基本完成，学生对集合概念及运算掌握较好，以实 例引出分类和关系的概念，学生对抽象概念的理解较好；学生能理解等价关系的概念， 将近一半的学生可以完成定理证明，但证明过程严谨性不足；抽象代数的发展历史引 申思想教育，引起学生共鸣，效果较好. 【教学设计分析】 讲述抽象代数发展的视频信息量有些大，学生短时间消化有些困难. 【教学优化措施】 预习内容增加查阅抽象代数的故事，播放视频前找 3-4 个学生讲述故事
《抽象代数》教案第2章同态与同构2.2映射课时1学时授课题目教学内容映射的概念【知识目标】1.会叙述满射、单射、一一映射及变换的定义：2.会用定义判定满射、单射、一一映射：3.会用定义证明满射、单射、一一映射【能力目标】教学目标4.能够利用具体例子描述满射、单射、一一映射5.运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题【素质目标】6.理解特殊与一般的辩证关系：7.数学是其他学科基础，增强学生专业自信【教学重点】满射、单射、一一映射及变换的定义与应用重点与难点【教学难点】用定义证明满射、单射、一一映射【教学方法】讲授法、启发式教学法、讨论法方法与手段【教学手段】多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段【学习内容】课前自主学习已学习的映射、函数的概念，课堂教学过程教学活动设计师生互动【师】回顾映射的我们在很多数学课程中学习过映射，最初接触是在什么时概念候，大家还记得吗？（约5分钟）【生】学生回答高中及数学分析中有很多同学认为是高中阶段，实际上大家在小学就接触过新课学习的函数和映整数集合中，加法运算，算式2+3=5和映射((2,3)=5有导入射的概念，【设计意图】为学什么关系呢？生介绍映射的具面部识别技术和3D打印技术都用到映射的知识体应用背景，增强学生的专业自信今天，我们一起深入研究映射心1.映射（约10分钟）定义设Φ是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个新课讲解A×A,×...xA,的元(a,×a,×.xa,)a,EA），都能够得到一【设计意图】学生个唯一的D的元d，那么这个法则Φ叫做集合A×A×..×A到通过对已学的概数学与系统科学学院- 9-
《抽象代数》 教案 第 2 章 同态与同构 数学与系统科学学院 - 9 - 授课题目 2.2 映射 课时 1 学时 教学内容 映射的概念 教学目标 【知识目标】 1. 会叙述满射、单射、一一映射及变换的定义； 2. 会用定义判定满射、单射、一一映射； 3. 会用定义证明满射、单射、一一映射. 【能力目标】 4. 能够利用具体例子描述满射、单射、一一映射； 5. 运用从特殊到一般的数学思想方法分析问题. 【素质目标】 6. 理解特殊与一般的辩证关系； 7. 数学是其他学科基础，增强学生专业自信. 重点与难点 【教学重点】 满射、单射、一一映射及变换的定义与应用. 【教学难点】 用定义证明满射、单射、一一映射. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、讨论法. 【教学手段】 多媒体教学、板书、雨课堂平台等现代化教学手段. 课前自主学习 【学习内容】 已学习的映射、函数的概念. 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 我们在很多数学课程中学习过映射，最初接触是在什么时 候，大家还记得吗？（约 5 分钟） 有很多同学认为是高中阶段，实际上大家在小学就接触过. 整数集合中，加法运算，算式 2 3 5 和映射(2,3) 5 有 什么关系呢？ 面部识别技术和 3D 打印技术都用到映射的知识. 今天，我们一起深入研究映射. 师生互动 【师】回顾映射的 概念. 【生】学生回答高 中及数学分析中 学习的函数和映 射的概念. 【设计意图】为学 生介绍映射的具 体应用背景，增强 学生的专业自信 心. 新课 讲解 1. 映射（约 10 分钟） 定义 设 是集合 A 到 B 的一个对应法则：对于任何一个 A1 A2 An 的元 1 2 ( )( ) n i i a a a a A ，都能够得到一 个唯一的 D 的元 d ，那么这个法则 叫做集合 A1 A2 An 到 【设计意图】学生 通过对已学的概