匚高等数学 即z=f(x,y)表示平面y=y与曲面z=f(x,y) 的交线厂 从而,(x,x)=[0(xx)表示曲线 =x0 z=f(x,y0)上点M处的切线对x的斜率如图
即 z = f (x, y0 )表示平面 y = y0与曲面 z = f (x, y) 的交线1 . 从而 表示曲线 0 ( , ) d d , ( , ) 0 0 0 x x x f x y x f x y = = z = f (x, y0 )上点M0处的切线对 x的斜率. 如图
匚高等数学 1: 2=f(, yo) =f(x,y) y 即fx(x2y0)表示y 与z=f(x,y)的交线在M处的 切线对x的斜率
y x z o z = f (x, y) X0 M0 即 f 'x (x0 , y0 ) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的 切线对 x 的斜率. T1 1 : z = f (x, y0 ) 1 y0
匚高等数学 类似得fy(x0)的几何意义如图 2:z=f(x0,y) =f(,y) B 即r;(o0)表示x=x与==(xy)的 交线在M处的切线对y的斜率
y x z o z = f (x, y) M0 X0 2 2 : z = f (x0 , y) 类似得 f 'y (x0 , y0 )的几何意义. 如图 即 f 'y (x0 , y0 ) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的 交线在 M0处的切线对 y 的斜率. x0 T2
匚高等数学 偏导与连续的关系 在一元函数中,可导必连续,但对多元函数 入不适用、即,对多元函数f(而言,即使它在X 的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证f (X在X连续
在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续. 三、偏导与连续的关系
匚高等数学 例5.设 Xy 当x2+y2≠O时 f(x y)=x2+ y) 0,当x2+y2=0时 证明z=f(x,y)在(O,0)的两个偏导都 存在,但它在(0,0)不连续 证 前边已证z=f(x,y)在(0,0)的极限不 存在,因此它在(0,0)不连续
例5. 设 z = f (x, y) = , 0 , 2 2 2 2 当 + 时 + x y x y xy0, 0 , 当x 2 + y 2 = 时 证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都 存在, 但它在 (0, 0)不连续. 证: 前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不 存在, 因此它在 (0, 0)不连续